O truque da adivinhação Egípcia

Quem nunca ficou surpreso ao participar de jogos aritméticos que se tratassem de adivinhações de números? Eu pessoalmente já participei de várias dessas brincadeiras com números e, em todas as vezes, me admirei com a capacidade que o homem tinha de criar novas adivinhações com números. Você pode até não gostar de matemática, mas com certeza vai adorar esse truque que irei lhe ensinar nessa nova publicação. 

Esse truque se chama adivinhação egípcia e consiste em adivinhar o número entre 10 e 100 escolhido por uma pessoa. Vamos supor que um professor resolveu aplica-lo em sua sala de aula. Neste truque o professor pede a um aluno que pense em um número de 10 a 100. O professor segue então os seguintes passos:

• Pergunta ao aluno se o número é par ou ímpar. Se o número for par, pede para que ele divida o número por 2. Se o número for ímpar, pede para que ele subtraia uma unidade desse número e depois divida o resultado por dois. 
• Pergunta se o resultado obtido é par ou ímpar novamente. E depois de ouvida a resposta ele pede para o aluno efetuar o mesmo procedimento descrito no item 1, ou seja, se o número for par, pede para que ele divida o número por 2 e se o número for ímpar, pede para que ele subtraia uma unidade desse número e depois divida o resultado por dois. 
• O procedimento continua com cada novo resultado até que o resultado final seja igual a 1, quando então os cálculos do aluno terminarão. 

Quando o professor é informado de que o resultado é igual a 1, ele revela imediatamente ao aluno o número pensado por ele. Gostou? Quer saber como fazer esse truque?

Mostrando como funciona o truque da adivinhação egípcia.

Vamos supor que o aluno escolheu o número 52. Durante as etapas da brincadeira, o aluno efetuará as contas da coluna abaixo à esquerda, enquanto que ao mesmo tempo o professor efetua sua anotações de acordo com a coluna abaixo à direita.

Na coluna do aluno inicia-se com o número pensado e ao longo das etapas ele termina em 1. Já a coluna no professor começa em 1 e dobra a cada novo resultado do aluno. Note que para cada número ímpar informado pelo aluno, o professor faz uma marcação “(x)” em sua coluna no seu número correspondente. Se você somar os números que foram marcados pelo professor vai obter o número que foi pensado pelo aluno, veja:

$$4 + 16 + 32 = 52$$

Esse é um meio prazeroso de se ensinar aritmética da representação de inteiros positivos no sistema binário, isto é, na base 2. Não entendeu o “porque” dessa afirmação? Aconselho então que continue lendo essa publicação.

Concebe-se esse truque observando o método das divisões sucessivas por 2, usado para representar um inteiro positivo no sistema binário, isto é, como soma de potências (distintas) de 2, a partir de sua representação no sistema decimal. Nesse método, tomando como exemplo o número 52, fazemos a seguinte “escada” de divisões sucessivas por 2, até atingirmos quociente igual a 1, quando o algoritmo termina. 

Lendo da direita para a esquerda os 0’s e 1’s da imagem ao lado, que são o último quociente e os restos das divisões, obtemos a representação do número 52 (aqui representado no sistema decimal) no sistema de numeração de base 2:

$$52\quad ={ \quad (110100) }^{ 2 }$$

$$=\quad 1\cdot { 2 }^{ 5 }+1\cdot { 2 }^{ 4 }+0\cdot { 2 }^{ 3 }+1\cdot { 2 }^{ 2 }+0\cdot { 2 }^{ 1 }+0\cdot { 2 }^{ 0 }$$

$$={ \quad 2 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 4 }+{ 2 }^{ 5 }$$

$$=\quad 4+16+32$$

$$=\quad 52$$

Na sequência das divisões, um resto será 0 (zero) quando o dividendo for par, e 1 (um) quando o dividendo for ímpar, daí a importância de tomar nota apenas das potências de 2 correspondentes aos restos ímpares. 

O título "adivinhação egípcia" é inspirado nos algoritmos de multiplicação dos antigos egípcios, baseados na decomposição de inteiros positivos como soma de potências de base 2. 

Este artigo nos mostra como os egípcios compreendiam os números em sua época e como eles conseguiam tornar a matemática simples com suas habilidades com os números, sem dúvidas, foram uma civilização a frente do seu tempo e trouxeram muitas contribuições para o desenvolvimento da matemática nos dias atuais. O que você achou sobre esse truque de adivinhação? Não gostaria de colocá-lo em prática com seus colegas ou alunos? Teria algo a acrescentar para que eu possa melhorar este artigo? Você que os egípcios realmente foram importantes para a civilização humana?

Referências bibliográficas:

[1] Revista do Professor de Matemática, edição 60 do 2º quadrimestre do ano de 2006.