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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Como saber se um número é o desenvolvimento de um fatorial?

Não sei se você que está lendo esta publicação sabe, mas o autor deste blog, que sou eu por sinal, cursa faculdade de matemática pelo IFCE. Não se preocupe eu não vou falar sobre mim ou sobre meu curso da faculdade, essa publicação pretende abordar um assunto bem mais curioso e ao mesmo tempo simples de ser resolvido.

Durante uma de minhas aulas da faculdade uma aluna levantou o seguinte questionamento ao nosso professor, então ela disse: Mas professor como ou quando eu vou saber se um número é o desenvolvimento de um fatorial? 

Se você não sabe ainda o que é um fatorial aconselho que antes de continuar lendo essa publicação dê uma estudada nos conceitos básicos sobre esse assunto. Aqui estão três ótimos links onde você encontrará uma explicação bem detalhada sobre os fatoriais. 
Agora que você sabe sobre os fatoriais vamos a pergunta que não quer calar: Como saber se um número é o desenvolvimento de um fatorial?

Assim que essa pergunta foi lançada ao professor da minha turma o meu grande amigo e colega de classe Roniel Caetano deu a seguinte resposta, acompanhe!

Se nos é dado um número e queremos saber se ele é ou não o resultado do desenvolvimento de um fatorial então devemos pensar da seguinte maneira: 

O resultado de um número fatorial nada mais é do que o resultado do produto de "$n$" fatores que vão de "$n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \quad ...\quad \cdot 3\cdot 2\cdot 1$", por exemplo:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 

O número 6 é o resultado de 3! (lê-se: três fatorial), pois se multiplicarmos o valores de 3 até 1 encontraremos o resultado 6 no final. Então isso quer dizer que se o 6 é o resultado do desenvolvimento de um fatorial então se eu começar a dividir o meu 6 por 1, por 2, e assim por diante até o meu resultado final da divisão for 1 então eu vou achar a sequência de fatores do número 6 na ordem crescente e com uma razão igual 1 e que vai coincidir com o fatorial de 3. 

Essa é uma regrinha prática que foi deduzida pela própria definição de fatorial e que poucos conhecem. Se você ainda está com dúvidas para entender essa regrinha irei mostrar mais um exemplo para fundamentar e esclarecer mais ela, veja:

Vamos supor que eu tenho o número 720, mas eu não sei ao certo se ele é ou não o resultado da expansão de um número fatorial. Para sabermos se é, ou não, devemos começar a dividir esse número por 1, por 2, por 3, por 4, por 5 e assim por diante até que o resto da minha divisão seja 1.


Se eu chegar ao resto 1 dividindo os resultados sempre por números naturais na ordem crescente e com uma razão igual a 1 então isso quer dizer que o 720 é a expansão de um fatorial, caso contrário o 720 não será a expansão de um fatorial. Vamos dividir ele e ver o que encontramos.

720/1  = 720 
720/2  = 360
360/3  = 120
120/4  =   30
30/5  =   6
 6/6   =   1

Vimos que o 720 é divisível pelos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e são números naturais em ordem crescente de razão 1 o que implica  dizer que o 720 é o resultado da expansão de um fatorial e que esse fatorial é o 6! 

Regra prática!

De um modo geral para sabermos se um número é o resultado da expansão de um fatorial basta dividirmos esse número pelos números naturais começando do 1, ou seja, dividimos por 1,2,3,4,5,6... sempre nessa ordem crescente de razão 1. Se o resultado da divisão chegar a 1 e a ordem for mantida na ordem crescente e com razão igual a 1 então o número que nos foi dado será o desenvolvimento de um fatorial, caso apareça outro número na sequencia de divisores que desfaça a razão 1 então o número em questão não será a expansão de um fatorial. 

Vamos a um último exemplo para fundamentarmos essa pequena teoria.

Exemplo: Dado o número 600 vamos analisar se ele é o resultado da expansão de um fatorial. Seguindo nossa pequena teoria vamos começar a dividir esse número pelos números naturais em ordem crescente e de razão 1 começando por 1, veja:

600/1 = 600
600/2 = 300
300/3 = 100
100/4 = 25 
25/5 = 5

5 não é possível dividir por 6 e gerar um resultado inteiro,
mas 5 é divisível por 5 novamente, logo:

5/5 = 1

Veja que a sequência de divisores do número 600 foi 1, 2, 3, 4, 5 e 5. Note que isso não é uma sequência crescente e de razão 1 pois no final dela o 5 se repete duas vezes ao invés de vir o número 6 depois do 5, então, de acordo com nossa teoria, podemos afirmar que o número 600 não é o resultado da expansão de um fatorial. 

Essa foi a resposta dada pelo aluno Roniel Caetano e que resolvi compartilhar com você aqui no VS. Espero que tenha gostado desta publicação e que tenha aprendido esse pequeno processo prático para descobrir se um número é ou não o resultado da expansão de um fatorial. 

Um grande abraço e até a próxima postagem.
Como saber se um número é o desenvolvimento de um fatorial? Reviewed by Romirys Cavalcante on 28.3.13 Rating: 5

16 comentários:

  1. Gostei da brincadeira. Observe que nas limhas finais do post vc na verdade ensina como obter o "maior fatorial contido em" um número, ou o maior divisor natural de um número que é um fatorial. Abs, Besta Quadrada.

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    1. Ótima observação... E por sinal, ótimo comentário também... Obrigado por interagir e por ter mostrado seu ponto de vista sobre o assunto... Isso é um sinal de que você, realmente, leu toda a minha explicação sobre essa matéria em questão... Um grande abraço e até a próxima...

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    2. Resposta rápida, obrigado pelos imerecidos elogios. É por isso que sou uma besta quadrada, pior é ser uma besta esférica, pois olhada sob qualquer ângulo é sempre a mesma besta... Abs, BQ

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    3. Que isso... Só disse o que, em minha opinião, era o certo a dizer no momento... Ainda to meio confuso com essa sua história de Besta Quadrada, mas deixa pra lá, eu acho que não irei entender mesmo... Quanto a resposta rápida, devo isso a facilidade que tenho para acessar meu blog e aos avisos que recebo via e-mail pro meu celular... Aprendi que quanto mais rápido a resposta, a possibilidade de um leitor voltar ao meu blog aumenta consideravelmente... Não sei se este será o caso mas agradeço essa sua visita e espero vê-lo comentando por aqui mais vezes quem sabe... Um grande abraço e até a próxima...

      Att. Romirys Cavalcante...

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  2. Que tal escrever um trabalho, no blog, como saber em quanto(s) zero(s) termina o fatorial de N>4? Muitos leitores, acredito, achariam interessante.

    Abraços

    Sebá

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    1. Poderia explicar melhor sua pergunta??? Ainda não entendi bem o que quis dizer com n > 4...

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  3. Todo número natural N > 4 seu fatorial termermina em zero. Por exemplo, 5! (5 fatorial) termina em um zero, 10! (10 fatorial) termina em 2 zeros, 15!(15 fatorial) termina em três zeros. E assim por diante.
    Como saber em quantos zeros termina 20!(fatorial de 20), sem desenvolver o fatorial?

    Abraços

    Sebá

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    1. Ok... Irei dar uma pesquisada sobre isso e provavelmente falarei sobre isso em uma de minhas publicações aqui no blog... Obrigado pela dica... Um grande abraço e até a próxima!!!

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  4. Oi, Romirys, meu chapa.

    Quer dizer que uma besta quadrada é melhor do que uma esférica? Porque esta última é besta em todos os pontos de vista?? kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Boa piada do Anônimo!!

    Acho que escrevi algo sobre a dúvida d nosso amigo em http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/05/expoente-de-primo-em-fatoracao-de_28.html

    Abraços

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    1. Olá Aloisio....

      Ótima publicação a sua e realmente tem a dúvida que o anônimo perguntou aqui para mim nessa publicação... Já até comentei por lá e espero que o rapaz da dúvida visite sua publicação por que ela explica bem direitinho o que ele queria... Na verdade explica até mais coisas e isso só tende a contribuir para ele assim como contribuiu para mim por que agora aprendi uma coisa a mais para somar a minha lista de coisas que sei da matemática... Então anônimo fica aqui a dica de visitar (http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/05/expoente-de-primo-em-fatoracao-de_28.html) e conferir a publicação do meu amigo Aloisio Teixeira que por sinal tem um blog de matemática muito bom e que aconselho a todos visitarem sempre... Não vão se arrepender eu garanto...

      Aloisio um grande abraço, obrigado pela dica, e até a próxima...

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  5. Olá Romiry, tudo bem?
    Li o trabalho de Aloisio Teixeira, concernente ao número de zero que termina o fatorial de um natural maior que 4. Muito interessante ainda é a demonstração dada por ele. Outra maneira é dividir sucessivamente o número por 5; quando o quociente for menor que 5, para. E em seguida soma os quocientes obtidos. Por exemplo, em quantos zeros termina 2012!?
    2012/5 = 402 (Resto 2)
    402/5 = 80 (Resto 2)
    80/5 = 16 (Resto zero)
    16/5 = 3 (Resto 1)
    Como 3 < 5, para. Somando os quocientes, obtém-se: 402+80+16+3 = 501.
    Portanto, 2012! termina em 501 zeros.

    Abraços

    Sebá

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    1. Sebá fico feliz que a publicação do Aloísio tenha lhe ajudado...

      Precisando de mais dicas ou se tiver algumas outras sugestões para postagens estou aberto a sugestões...

      Um grande abraço e até a próxima...

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  6. Parabéns pelo blog e pela postagem amigo! Surgiu essa dúvida e fui para o Google e encontrei teu blog, me ajudou muito! sucesso sempre!

    Matemático Aprendiz.

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    1. Olá Matemático Aprendiz!

      Fico feliz em saber que pude contribuir com o seu aprendizado em matemática sobre esse conteúdo. Obrigado por deixar comentário nessa publicação e pelo elogio quanto ao meu humilde site. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. Olá Romirys Cavalcante.
    Bom dia tudo bem?
    Espero que sim!
    Meu nome é Fábio Ferreira .
    Estou retomando os meus estudos agora.
    Tenho dificuldade em aprender sobre as equações, principalmente a de segundo grau.
    Você poderia me ajudar.
    Com uma publicação detalhada, sobre o assunto.

    Obs: Li sua publicação sobre potências .
    Achei muito boa ( parabéns).
    Um grande abraço.

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    1. Olá Fábio Ferreira!

      Irei preparar algumas publicações sobre equações para lhe ajudar com suas dúvidas. Obrigado pelos elogios quanto a minha publicação sobre potências, um grande abraço, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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