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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Avaliação de uma proposta de investimento por meio de sua Rentabilidade Real (RR) - Prof. Sebá

Pretende-se mostrar neste trabalho, por meio de um exemplo numérico e sem usar o rigor matemático que é próprio dos massacradores de cérebros, as distorções nos resultados, quando se usa a taxa média de inflação dos períodos considerados, para calcular a taxa interna de retorno real (TIRR), ou seja, a RR do investimento, ao invés de se usar a taxa ocorrida em cada período.


Por uma proposta de investimento, segundo (FARO, $1990$), “entende-se a inversão de capital num determinado empreendimento, quer seja ele uma aplicação no mercado de capitais ou no projeto de uma fábrica, com a finalidade de obtenção de receitas.” E por rentabilidade real entende-se como sendo a TIRR do investimento, ou seja, a rentabilidade em moeda constante.

Como a taxa de inflação por período é variável com o tempo, o que é o caso comum, iremos analisar uma proposta de investimento hipotética. Caso algum investidor venha a se defrontar com um caso real no seu dia a dia, basta substituir os valores hipotéticos pelos valores reais, e aplicar a metodologia a seguir.

1.1 – Proposta de Investimento Constituída por um Único Recebimento 

Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 10.000,00$ e obtenha no fim de dois meses o montante de $R\$ 13.800,00$. Sabendo-se que a inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, $3\%$ e $4\%$, pergunta-se: qual a RR do investimento? 

1.1.1 – Usando a Inflação de cada Período

Se a inflação do 1º e 2º meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a inflação acumulada dos dois meses foi:
$$\left[ (1,03)\cdot (1,04)\quad –\quad 1 \right] \cdot 100=7,12\%$$
Deflacionando os $R\$ 13.800,00$, obtém-se:
$$ \frac { R$13.800,00 }{ 1,0712 } =R$12.882,75 $$
O diagrama de fluxos de caixa (DFC), em termos de poder de compra, ou seja, em moeda constante, é o seguinte:


Calculando a RR, encontra-se:
$$ 1000=\frac { 12882,75 }{ { \left( 1+RR \right)  }^{ 2 } } \\ RR=13,50\% $$

1.1.2 – Usando a Fórmula da Taxa Real

A fórmula que nos dá a taxa real de um investimento, é a seguinte:
$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1+{ i }_{ a } }{ 1+{ I }_{ M } }  - 1 \right) \cdot 100 $$
Onde: 

${ i }_{ r }$ = Taxa real do investimento

${ i }_{ a }$ = Taxa aparente do investimento

${ I }_{ M }$ = taxa média de inflação

A taxa aparente do investimento é a taxa interna de retorno, quando não se leva em consideração a taxa de inflação, respectivamente, de $3\%$  e $4\%$  do $1º$ e $2º$ meses. 

O DFC em moeda corrente é o seguinte:


Calculando a rentabilidade do investimento em moeda corrente, ou seja, a rentabilidade aparente, obtém-se:
$$ 1000=\frac { 13800 }{ { \left( 1+{ i }_{ a } \right)  }^{ 2 } } \\ { i }_{ a }=17,47\% $$
Se a inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, logo, a taxa média de inflação (TMI) foi:
$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,03 \right) \cdot \left( 1,04 \right)  } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=3,5\% $$
Substituindo os valores da ${ i }_{ a }$ e da TMI na fórmula da taxa real, obtém-se:
$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,1747 }{ 1,035 } -1 \right) \cdot 100=13,5\% $$

1.1.3 – Usando a Taxa Média de Inflação (TMI)

Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $3\%$ e $4\%$, a TMI como foi visto no item $1.1.2$, foi de $3,5\%$ a.m. Como os $R\$ 13.800,00$, do $2º$ mês, vão ser deflacionados com a taxa de inflação acumulada do $1º$ e $2º$ meses, e como a taxa de inflação acumulada é a mesma tanto usando a taxa média de inflação como a inflação de cada mês, então, a RR do investimento usando a TMI, também é a mesma, ou seja, $13,5\%$ a.m. 

Conclusão

Se uma proposta de investimento for constituída de um único recebimento, é indiferente usar: ou a inflação de cada período, ou a taxa média de inflação ou a fórmula da taxa real, para se determinar a rentabilidade real de um investimento.

Será que se uma proposta de investimento for constituída por mais de um recebimento, chega-se à mesma conclusão? É o que veremos a seguir.

1.2 – Proposta de investimento Constituída por mais de um Recebimento 

Suponha que alguém invista, hoje, em regime de juros compostos, $R\$ 1.000,00$, numa instituição financeira, por dois meses, e obtenha em cada mês $R\$ 800,00$. Se durante os dois meses a taxa de inflação foi de $4\%$ no $1º$ mês e de $5\%$ no $2º$, qual foi a RR do investimento, ou seja, a rentabilidade mensal do investimento em termos de poder de compra?

1.2.1 – Usando a Taxa Média de Inflação 

Se a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, em regime de juros compostos, a taxa média de inflação é dada por:
$$ TMI=\left[ \sqrt { \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right)  } \quad -\quad 1 \right] \cdot 100=4,5\% \quad a.m.$$ 
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1º mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,045 } =R\$ 765,55 $$
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 2º mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,045 \right) \cdot \left( 1,05 \right)  } =R\$729,10 $$
O DFC em moeda constante é o seguinte:


Calculando a RR, encontra-se:
$$ RR=31,85\%\quad a.m. $$
E caso a inflação de cada mês tivesse sido de $5\%$ e $4\%$ ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual seria, agora, a RR do investimento? Ora, seria a mesma; haja vista que a TMI não se alteraria.

Será que se chega à mesma conclusão fazendo a análise do investimento com a taxa de inflação de cada mês, ao invés de se usar a taxa média de inflação? É o que veremos a seguir. 

1.2.2 – Usando a Inflação de Cada Mês

Como a taxa de inflação, no $1º$ e $2º$ meses foi, respectivamente, de $4\%$ e $5\%$, logo, deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,04 } =R\$ 769,23 $$
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,04 \right) \cdot \left( 1,05 \right)  } =R\$ 732,60 $$
O DFC é o seguinte: 


Calculando a RR, encontra-se:
$$ RR = 32,30\%\quad a.m. $$
Nos item $1.2.1$ e $1.2.2$ as RR's “falam” por si, ou seja, a RR do investimento quando se usa a taxa de inflação por período é um pouco maior do que a RR do investimento quando se usa a taxa média de inflação. A RR do investimento cresce ainda mais, quando se usam as taxas de inflação por período, à medida que essas taxas se distanciam umas das outras.

1.2.3 – Mudando a Ordem de Ocorrência da Inflação

Suponha que no exemplo em estudo, a inflação tenha sido, no $1º$  e $2º$ meses, respectivamente, $5\%$ e $4\%$, ao invés de $4\%$ e $5\%$, qual será, agora, a RR do investimento? 

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do 1º mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ \left( 1,05 \right) \cdot \left( 1,04 \right)  } =R\$ 732,60 $$
O DFC é o seguinte: 


Calculando a RR, encontra-se:
$$ RR = 31,78\% \quad a.m. $$

1.2.4 – Usando a Fórmula da Taxa Real 

Por ser correto o uso da fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento, quando esta é constituída de um único recebimento, isso induz, a um analista de investimento, a usar, incorretamente, a fórmula da taxa real na determinação da RR de uma proposta de investimento com mais de um recebimento. É o que veremos a seguir.

O DFC, sem se levar em consideração a taxa de inflação do $1º$ e $2º$ meses, é o seguinte: 


Calculando a ${i}_{a}$, do DFC acima, encontra-se:
$${i}_{a} = 37,98\% \quad a.m. $$
A TMI, de acordo com o resultado obtido no item 1.2.1., é:
$$TMI = 4,5\%$$
Calculando a RR por meio da fórmula da taxa real, obtém-se:
$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,045 } -1 \right) \cdot 100=32,04\%\quad a.m.\quad \text{(Errado)} $$
Vejamos a seguir por que a RR de $32,04\% $ a.m. não é a correta.

Conforme os resultados obtidos nos itens $1.2.2$ e $1.2.3$, a RR do investimento é de $32,30\%$ a.m. para uma inflação de $4\%$ no $1º$ mês e $5\%$ no $2º$ ou $31,78\%$ a.m. para uma inflação de $5\%$ no $1º$ mês e $4\%$ no $2º$. Portanto, a RR correta é de $32,30\%$ a.m. ou $32,78\%$ a.m.; e não $32,04\%$ a.m. 

Suponha que no exemplo apresentado, a taxa de inflação tivesse se mantido constante no $1º$ e $2º$ meses. Vamos supor $5\%$. Se a taxa de inflação fosse de $5\%$ no $1º$ e $2º$ meses, é claro que a taxa média de inflação seria também de $5\%$ a.m.

Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $1º$ mês, obtém-se: 
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ 1,05 } =R\$ 761,90 $$
Deflacionando os $R\$ 800,00$ do $2º$ mês, encontra-se:
$$ \frac { R\$ 800,00 }{ { \left( 1,05 \right)  }^{ 2 } } =R\$ 725,62 $$
O DFC, em moeda constante, é o seguinte:


Calculando a RR do DFC acima, encontra-se:
$$ RR = 31,41\%\quad a.m. $$
Já que a ${i}_{a}$ do investimento foi de $37,98\%$ a.m., conforme resultado do item $1.2.4$, e a TMI foi de $5\%$ a.m., logo, a RR do investimento é dada por:
$$ { i }_{ r }=\left( \frac { 1,3798 }{ 1,05 } -1 \right) \cdot 100=31,41\%\quad a.m. $$
A RR do investimento, nos dois casos, foi de 31,41% a.m., o que nos assegura ser correto o novo processo de cálculo, da RR do investimento, usando a fórmula da taxa real.

Conclusão 

Caso alguém aplique $R\$ 1.000,00$, hoje, em regime de juros compostos, durante dois meses, e obtenha em cada mês $R\$ 800,00$, se a inflação por hipótese for, respectivamente, de $4\%$  e $5\%$ ou $5\%$ e $4\%$  no $1º$ e $2º$ meses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) será:

a) $17,46\%$, em ambos os casos, quando se considera a taxa média de inflação (Item $1.2.1$) ou a fórmula da taxa real (Item $1.2.4$); 

b) $32,30\%$ a.m., quando se considera a inflação de $4\%$ e $5\%$ cada mês (Item $1.2.2$);

c) $31,78\%$ a.m., quando se muda a ordem de ocorrência da inflação de $4\%$ a.m. e $5\%$ a.m. para $5\%$ a.m. e $4\%$ a.m. para cada mês. (Item $1.2.3$).


Mesmo sendo igual a inflação acumulada, ou seja:
$$ (1,04)\cdot (1,05)–1=(1,05)\cdot (1,04)–1 $$
Nas duas hipóteses, a TIRR (Taxa Interna de Retorno Real) do investimento (ou a RR do investimento) foi diferente:

- $32,30\%$ a.m. para uma inflação acumulada de:
$$(1,04)\cdot (1,05)–1$$
- $31,78\%$ a.m. para uma inflação acumulada de:
$$(1,05)\cdot (1,04)–1$$

Há ainda um fato marcante a se observar nas letras "b" e "c": a inflação sendo mais intensa no $1º$ mês e depois decrescendo no $2º$, conduz ao resultado de menor TIRR, letra "c"; e inversamente, quando a inflação começa em menor escala no $1º$ mês e depois crescendo no $2º$, letra "b". Já na letra "a", como a inflação média mensal é a mesma, esse fato não é percebível. 

Portanto, é desaconselhável, totalmente, a utilização da taxa média de inflação e da fórmula da taxa real, nas tomadas de decisão sobre a rentabilidade real de uma proposta de investimento, quando ela é constituída por mais de um pagamento ou recebimento. O correto é usar a inflação de cada período, caso ela seja variável com o tempo. Se a inflação se mantiver constante, com o tempo, então, é indiferente usar: a taxa média de inflação, a fórmula da taxa real ou a inflação de cada período. 

Importante

Este é um artigo criado por Sebastião Vieira do Nascimento, conhecido por todos como Sebá. Ele é graduado em Economia pela UFPB – Universidade Federal da Paraíba e mestre em Engenharia de Produção também pela UFPB. É professor titular aposentado da UFCG – Universidade Federal de Campina Grande – PB.

Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matemática Financeira, Engenharia Econômica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as áreas em que atuou e sobre Teoria dos Números. Desde sua aposentadoria até hoje, ele já publicou sete livros pela Editora Ciência Moderna.
Avaliação de uma proposta de investimento por meio de sua Rentabilidade Real (RR) - Prof. Sebá Reviewed by Romirys Cavalcante on 27.7.15 Rating: 5

3 comentários:

  1. Quem são os "massacradores de cérebros"?

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    Respostas
    1. Olá!

      Creio que seja a linguagem matemática formal, ou seja, o rigor matemático que deve ser seguido para chegar a demonstrações ou conclusões matemáticas. Tal rigor, às vezes, é muito complicado para que todas as pessoas consigam entender, por isso ele optou por uma linguagem mais simples utilizando exemplos para ficar mais fácil a compreensão de quem irá ler este artigo na íntegra.

      Espero ter lhe ajudado com sua dúvida, um abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  2. Olá anônimo:
    Eu chamo certos autores de verdadeiros massacradores de cérebro, aqueles autores (com raras exceções) que escrevem livros e artigos científicos para mostrarem que sabem daquele assunto e não se preocupam em transmiti-los.

    Eu escrevi o presente artigo para transmitir conhecimentos, e não para mostrar que domino o assunto, o que é próprio dos massacradores de cérebro.

    Abraços

    Prof. Sebá

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