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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 6 - Exercícios envolvendo as Propriedades de Limites

Estou dando início a aula 6 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos colocar em prática as propriedades de Limites que aprendemos na aula passada. Irei resolver uma série de exercícios de forma detalhada dando ênfase em quais propriedades estão sendo utilizadas em cada processo de resolução.


Em todos os casos abaixo calcule os limites das funções, caso existam, detalhando as propriedades utilizadas em cada processo de sua resolução.

Exercício 01:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right)  } $$
Observe que este é um limite bem simples e que poderia, muito bem, ser resolvido apenas da seguinte maneira:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right)  } =4\cdot 2+3=8+3=11 $$
Isso por que ao substituirmos o valor em que $x$ está tendendo não chegamos em nenhuma indeterminação matemática, porém como queremos entender como as propriedades dos limites podem ser aplicadas iremos resolver esse limite da seguinte maneira. Primeiro vamos aplicar a propriedade do limite da soma que diz que o limite da soma é igual a soma dos limites, logo chegamos a seguinte conclusão: 
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x+3 \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right)  } $$
Agora se observarmos o primeiro termo dessa nova expressão podemos aplicar a propriedade do limite do produto, que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, logo: 
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right)  } =\left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 }  \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x }  \right)  \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right)  }  $$
Agora podemos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo dessa expressão e podemos aplicar a propriedade $2$ da aula passada no segundo termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:
$$ \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4 }  \right) \cdot \left( \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x }  \right)  \right] +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 3 \right)  } =\left( 4\cdot 2 \right) +3=8+3=11 $$
Importante: Note que este tipo de resolução leva um pouco mais de tempo, porém nos mostra como podemos aplicar as propriedades dos limites em suas resoluções, no entanto, isso não quer dizer que você precise, necessariamente, resolver todos os seus limites dessa maneira, pois, como eu disse, isso é apenas para entendermos melhor suas propriedades. Fique ligado nisso!

Exercício 02:

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right)  } $$
Note que este é outro limite bem fácil de ser resolvido e que poderia ser solucionado apenas substituindo o valor que $x$ está tendendo na função, pois isso não geraria nenhuma indeterminação, porém, como queremos aplicar as propriedades dos limites, vamos, mais uma vez resolvê-lo de forma diferente e mais detalhada. 

Esse limite é bem interessante por que pode ser resolvido de maneiras diferentes, utilizando propriedades diferentes, portanto irei mostrar duas maneiras de como poderíamos resolver esse limite. A primeira maneira é bem simples. Note que podemos aplicar a propriedade do limite da diferença, pois sabemos que o limite da diferença é igual a diferença dos limites, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 }-4x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right)  } $$
Agora podemos aplicar em ambos os termos dessa expressão a propriedade do limite do produto que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6{ x }^{ 2 } \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } $$
Agora podemos aplicar a propriedade 8 da aula passada que diz que o limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( { x }^{ 2 } \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right)  } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x }  \right)  }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } $$
Por fim iremos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro e terceiro termo da expressão e a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 6 \right)  } \cdot { \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x }  \right)  }^{ 2 }-\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 4 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } =6\cdot { 3 }^{ 2 }-4\cdot 3=6\cdot 9-12=54-12=42 $$
Essa foi uma das maneiras que poderíamos ter resolvido este limite usando suas propriedades. Outra maneira bem interessante seria a de primeiro colocarmos em evidência o $2x$ da função $f(x)=6{ x }^{ 2 }-4x$, logo teríamos então que calcular o limite da seguinte expressão:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right)  \right]  } $$
Com base nessa nova expressão poderíamos a princípio aplicar a propriedade 6 da aula passada que diz que o limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ 2x\cdot \left( 3x-2 \right)  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right)  } $$
Agora podemos aplicar no segundo termo dessa expressão a propriedade do limite da diferença que diz que o limite da diferença é igual a diferença dos limites, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-2 \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right)  } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  \right] $$
Agora vamos aplicar a propriedade que diz que o limite do produto é igual produto dos limites no primeiro e segundo termo dessa expressão, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2x \right)  } \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  \right] =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  }  \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  \right] $$
Por fim, vamos aplicar a propriedade do limite da constante no primeiro, terceiro e quinto termo dessa expressão e vamos aplicar a propriedade 2 da aula passada no segundo e quarto termo dessa expressão que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  } \cdot \left[ \left( \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3 \right)  } \cdot \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( x \right)  }  \right) -\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  \right] =2\cdot 3\cdot \left[ \left( 3\cdot 3 \right) -2 \right] =6\cdot 7=42 $$
Importante: Note que ambas as resoluções resultaram no mesmo limite, pois por mais que tenhamos utilizado métodos diferentes devemos sempre encontrar o mesmo resultado, já que não mexemos na função inicial a ponto de mudar o seu limite. Perceba que você pode utilizar artifícios matemáticos para mudar seus cálculos como o que fiz nessa resolução acima quando coloquei um termo em evidência da função. Existem casos em que fazer esse tipo de "jogada" minimiza e muito nossos cálculos. Fique ligado nisso!

Exercício 03:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x }  \right)  } $$
Observe que neste caso calcular o limite não é tão simples quanto pode parecer, pois se apenas substituirmos o valor que $x$ está tendendo na função chegaremos a uma indeterminação matemática, pois teremos zero dividido por zero, logo faz-se necessário que utilizemos outro artifício matemático para "fugir" dessa indeterminação que no caso será a fatoração.

Note que o numerador dessa função é um produto notável conhecido como diferença de dois quadrados, logo ele pode ser reescrito como o produto da soma pela sua diferença de acordo com a propriedade que foi apresentada na aula $2$ do nosso curso, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-4 }{ x^{ 2 }-2x }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-{ 2 }^{ 2 } }{ x^{ 2 }-2x }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x^{ 2 }-2x }  \right]  }  $$
Agora, se observarmos o denominador dessa função podemos perceber que o termo $x$ é o fator comum dessa expressão, logo podemos colocá-lo em evidência, então teremos a seguinte expressão resultante, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x^{ 2 }-2x }  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x\cdot \left( x-2 \right)  }  \right]  } $$
Como sabemos que $x$ se aproxima de $2$, mas nunca será igual a $2$, então podemos afirmar que "$x-2$" é diferente de zero, portanto podemos realizar a simplificação do "$x-2$" do numerador com o "$x-2$" do denominador, resultando na seguinte expressão:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x\cdot \left( x-2 \right)  }  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right)  }{ x }  \right]  } $$
Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da função que fica no denominador, nesse exemplo, é diferente de zero, então podemos aplicar esta propriedade, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( x+2 \right)  }{ x }  \right]  } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  }  } $$
Agora podemos aplicar no numerador a propriedade que diz que o limite da soma é igual a soma dos limites, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  }  } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  }  } $$
Para finalizar resolvemos os três limites dessa expressão conforme as propriedades do limite da constante e da propriedade que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 2 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x \right)  }  } =\frac { 2+2 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } =2 $$
Importante: Perceba que por mais que essa função não esteja definida no ponto "$x=2$" ela possui limite quando se aproxima desse valor. Isso serve para enfatizar que uma função não precisa estar necessariamente definida no ponto onde estamos querendo calcular o seu limite. Note também que para sairmos de indeterminações matemáticas, nos limites, precisamos conhecer muito bem os conteúdos que envolvem fatoração de polinômios por isso é de fundamental importância que você estude bastante esses assuntos por meio de resoluções de exercícios e com o auxílio da aula $2$ do nosso curso onde mostramos várias dessas propriedades de fatoração. 

Exercício 04:

Seja a função $f$ definida por:
$$ f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 } ,\quad se\quad x\neq 1 \\ 3,\quad se\quad x=1 \end{cases}  $$
Calcule: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ f(x) } $$
Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca será igual a $1$, portanto podemos concluir que a função que devemos utilizar para $f(x)$ deve ser a primeira, logo temos que calcular o seguinte limite:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 }  \right)  } $$
Observe que se substituirmos o valor que $x$ está tendendo na função acima chegaremos em uma indeterminação de zero dividido por zero, logo temos que utilizar algum artifício matemático para tentarmos "fugir" novamente dessa indeterminação, ou seja, vamos ter que realizar uma fatoração.

Na aula 2 do nosso curso de cálculo ensinei como colocar uma equação do 2° grau na sua forma fatorada e disse que para fazer isso precisamos conhecer as raízes da nossa equação. Portanto o primeiro passo que devemos fazer é encontrar as raízes da equação do 2° grau que se encontra no numerador da nossa função.

Aviso: Calcular as raízes de uma equação do 2° grau é uma tarefa fácil para quem já está na faculdade estudando Cálculo I, portanto irei pular essa parte de nosso cálculo e ir direto para o próximo passo, uma vez que já sabemos que as raízes de nossa equação são: $1$ e $2$.

A forma fatorada de uma equação do 2° grau é a seguinte:
$$ a\cdot \left( x-{ x }_{ 1 } \right) \cdot \left( x-{ x }_{ 2 } \right) $$
Onde ${ x }_{ 1 }$ e ${ x }_{ 2 }$ são as raízes da equação do 2° grau e $a$ é o termo que multiplica o $x^{2}$, logo:
$$ { x }^{ 2 }-3x+2=1\cdot \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) =\left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right) $$
Substituindo essa informação na nossa função temos que:
$$  \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( \frac { { x }^{ 2 }-3x+2 }{ x-1 }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x-1 }  \right]  }  $$
Como sabemos que $x$ se aproxima de $1$, mas nunca será igual a $1$, portanto podemos afirmar que "$x-1$" é diferente de zero, logo podemos efetuar sua simplificação na expressão acima, então temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { \left( x-1 \right) \cdot \left( x-2 \right)  }{ x-1 }  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right)  } $$
Aplicando a propriedade 4 da aula passada que diz que o limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x-2 \right)  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right)  } $$
Aplicando a propriedade do limite da constante no primeiro termo e a propriedade que diz que o limite de uma função $f(x)=x$ quando $x$ tende a um valor $p$ é igual ao próprio $p$, no segundo termo, temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x \right)  } -\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 2 \right)  } =1-2=-1 $$
Importante: Observe que essa função estava bem definida para "$x=1$". De acordo com ela "$f(1)  =3$", porém vimos que o limite dessa função quando $x$ se aproximava de $1$ foi igual a $-1$. Isso quer dizer que mesmo a função estando definida em um ponto não quer dizer que o limite dessa função será igual ao valor que essa função possui nesse ponto. Fique bem atento a essas observações!

Exercício 05: 

$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 }  \right)  } $$
Observe que no limite acima se substituirmos o valor que $x$ está tendendo iremos chegar em uma indeterminação matemática, ou seja, uma divisão de zero por zero. Para fugirmos dessa indeterminação poderíamos utilizar novamente a fatoração, mas perceba que neste caso não podemos fatorar mais esta expressão, logo temos que buscar outro artifício matemático.

Uma saída para esse caso é multiplicarmos tanto o numerador como o denominador dessa expressão pelo conjugado do numerador. Se você não sabe o que é um conjugado recomendo que pesquise mais sobre isso pela internet para familiarizar-se com esse tema. De maneira bem simples eu poderia dizer que o conjugado é uma espécie de número oposto de um número composto, por exemplo, imagine que você tem o número "$a+b$" então o seu conjugado será o número "$a-b$".

Fique por dentro: Uma observação interessante é que quando multiplicamos um número composto por seu conjugado ele sempre gera o famoso produto notável conhecido como diferença de dois quadrados.

Com essas informações podemos chegar a conclusão de que o conjugado do número $\sqrt { 1+x } -2$ nada mais é do que o número $\sqrt { 1+x } +2 $, logo temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \frac { \sqrt { 1+x } -2 }{ x-3 } \cdot \frac { \sqrt { 1+x } +2 }{ \sqrt { 1+x } +2 }  \right) = } \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { { \left( \sqrt { 1+x }  \right)  }^{ 2 }-{ (2) }^{ 2 } }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  }  $$
Agora o que precisamos fazer é desenvolver essa expressão e simplificar o que for possível, veja:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1+x-4 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  } $$
Como $x$ se aproxima de $3$, mas nunca será igual a $3$, então, podemos afirmar que "$x-3$" é diferente de zero e, portanto, podemos realizar a simplificação desse termo na expressão acima, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { x-3 }{ (x-3)\cdot \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  } $$
Agora podemos aplicar a propriedade 7 da aula passada que diz que o limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero. Como sabemos que o limite da função que fica no denominador, nesse exemplo, é diferente de zero, então podemos aplicar esta propriedade, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  \right]  } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  }  $$
Vamos aplicar a propriedade 3 da aula passada no denominador que diz que o limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções, logo temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x } +2 \right)  }  } =\frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x }  \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  } $$
Agora iremos aplicar as propriedades mais básicas dos limites que já vem sendo executadas desde o primeiro exemplo e que dessa vez deixarei de mencionar pelo simples fato de querer evitar que o artigo fique longo e repetitivo demais, então temos que:
$$ \frac { \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 1 \right)  }  }{ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( \sqrt { 1+x }  \right)  } +\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 2 \right)  }  } =\quad \frac { 1 }{ \sqrt { 1+3 } +2 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } +2 } =\frac { 1 }{ 2+2 } =\frac { 1 }{ 4 } $$

Conclusão

Estamos chegando ao fim de mais uma aula do nosso curso. Embora tenham sido mostrados apenas cinco exercícios resolvidos nesta aula creio que abordei os principais assuntos em cada um deles. Lembre-se de por em prática essas propriedades resolvendo outros exercícios em casa. Caso queiram posso deixar mais tarde uma pequena lista com exercícios parecidos com estes para serem respondidos por vocês.

É complicado criar artigos de resoluções de exercícios pelo fato de ser difícil realizar a inserção das equações no editor do blogger devido a sua limitação, espero em breve, conseguir refazer essas aulas em formatos de vídeos para que eu possa responder mais exercícios e assim ajudar mais ainda com as dúvidas. Desde já agradeço pela presença nesta aula.

Deixem o feedback de vocês na área de comentários e digam se gostaram da aula e quais conteúdos gostariam de ver nas próximas aulas do curso. Sua participação é muito importante para o desenvolvimento deste curso.

Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

Referências bibliográficas:

[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; José Machado, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Noções de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2005.
[2] Régis Vieira Alves, Francisco. Cálculo I. Equipe de elaboração UAB/IFCE, Fortaleza, 2011.

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Aula 6 - Exercícios envolvendo as Propriedades de Limites Reviewed by Romirys Cavalcante on 23.7.15 Rating: 5

14 comentários:

  1. olá, boa noite ! sempre acompanho suas publicações ... o que houve ? pq parou ?

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    Respostas
    1. Olá Anônimo!

      Desculpe pela demora em publicar novas aulas do curso de Cálculo. Tive uns contratempos no ano passado que me impossibilitaram de dar continuidade ao curso, mas não se preocupe. Já está tudo bem novamente e dentro de poucos dias irei publicar as aulas seguintes do curso para você e outras pessoas poderem estudar. Um grande abraço, obrigado por acompanhar meus humildes artigos e estudar com o Vivendo entre Símbolos.

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Bastante objetivas e práticas suas aulas, parabéns!

      Estou no aguardo das demais também. :)

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    3. Olá Diego!

      Obrigado pelo elogio quanto as aulas do curso. Em breve estarei postando as próximas aulas. Obrigado pela participação.

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. olá, boa noite ! sempre acompanho suas publicações ... o que houve ? pq parou ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Fico feliz em saber que acompanha minhas publicações com frequência. As publicações do curso pararam por conta que estou sem tempo para planejar e preparar as próximas aulas, mas deixo claro que não vou desistir do curso. Estou aproveitando esse mês de julho (mês de férias) para colocar em dias essas aulas do curso de cálculo.

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. ameiiiiii demais, vai me ajudar muitoo.

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    Respostas
    1. É um prazer poder contribuir com seu aprendizado!

      Att. Romirys Cavalcante

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  4. Obrigada pelo conteúdo! Está me ajudando mesmo!
    Eu gostaria muito que nesse curso vc pusesse aulas falando sobre derivada. Eu dsd jah gradeço!!

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    Respostas
    1. Olá Darissa Barbosa!

      Em breve o curso estará contemplando o assunto de derivadas e integrais. Obrigado pelos agradecimentos é sempre um prazer poder contribuir com seu aprendizado. Bons estudos, um grande abraço e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

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  5. Perfeito!!
    Uma das melhores explicações que já vi.
    Nem precisei pesquisar por videoaulas, foi muito bem explicado.
    Parabéns!

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    Respostas
    1. Olá!

      Fico muito feliz em saber que estou contribuindo com seu aprendizado. Obrigado pelos elogios com relação ao artigo. Um grande abraço bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  6. muitissimo obrigada! :)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      É sempre bom poder contribuir com seu aprendizado.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir

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