Aula 7 - O que são Limites Laterais?

Estou dando início a aula 7 do nosso curso de cálculo aqui no VS. Hoje vamos conhecer e compreender um pouco sobre o que são os limites laterais de uma função e como esse conhecimento pode ser útil na hora de determinarmos o limite de uma função. 

Por que estudar limites laterais?

Você, muito provavelmente, deve ter se peguntado no início deste artigo por que precisa estudar e aprender sobre limites laterais ou em como isso vai lhe ajudar ao longo deste curso.

Para que possa perceber a importância desse assunto você deverá lembrar do conteúdo abordado em nossa aula 4 desse curso onde explanei sobre a unicidade do limite de uma função. 

Durante essa aula expliquei, por meio de demonstrações básicas, que se uma função possui limites laterais iguais, então podemos afirmar que existe ($\exists $) um limite para ela, caso contrário, ou seja, se uma função possuir limites laterais distintos, então podemos afirmar que o limite da função em questão não existe ($\nexists $).

É nesse momento que vemos a importância desse assunto, pois é ele quem nos dirá se uma função possui ou não limite.

O que são limites laterais?

Quando analisamos o comportamento de uma função em um ponto específico, nos preocupamos em observar o que acontece com os valores de $f(x)$ quando $x$ se aproxima desse ponto tanto pela direita quanto pela esquerda. 

É isso que chamamos de limites laterais, ou seja, os resultados para o limite de uma função $f(x)$ quando a variável $x$ se aproxima de um valor em suas extremidades.

Observação: Vale lembrar que nesta aula utilizaremos o domínio e o contradomínio de nossas funções dos Reais nos Reais, ou seja, $f\left( x \right) :\Re \rightarrow \Re $.

Vamos encontrar o limite da função a seguir por meio de seus limites laterais.

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+1) } $$

Lê-se: Limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$.

Vamos analisar o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela esquerda, ou seja, para valores menores que $2$. 

Para $x=1,2$  temos que $f(x)=3,4$

Para $x=1,9$  temos que $f(x)=4,8$

Para $x=1,99$  temos que $f(x)=4,98$

Para $x=1,999$  temos que $f(x)=4,998$

Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela esquerda para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que: 

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela esquerda é igual a $5$.  

Nota: Perceba que ao lado do $2$ existe um sinal de subtração, isso significa que estamos falando do limite lateral esquerdo dessa função. Lembre-se que quando estivermos trabalhando com limites laterais precisaremos utilizar o sinal de subtração ou adição para identificarmos os limites pela esquerda ou pela direita, respectivamente, da função. 

Vamos analisar agora o que acontece com a essa função quando $x$ se aproxima de $2$ pela direita, ou seja, para valores maiores que $2$. 

Para $x=2,2$  temos que $f(x)=5,4$

Para $x=2,001$  temos que $f(x)=5,002$

Para $x=2,0001$  temos que $f(x)=5,0002$

Para $x=2,00001$  temos que $f(x)=5,00002$

Perceba que a medida que aproximamos $x$ pela direita para valores próximos de $2$ o valor de $f(x)$ se aproxima consideravelmente para $5$, logo, podemos dizer que: 

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ pela direita é igual a $5$. 

Nota: Perceba que dessa vez utilizamos o sinal de adição, ao lado do $2$ para identificarmos que estamos trabalhando com o limite lateral direito dessa função. 

Uma vez que encontramos os dois limites laterais dessa função e identificamos que ambos os limites são iguais, podemos simplesmente dizer que: 

$$ \lim _{ x\rightarrow { 2 }}{ (2x+1) } =5$$

Lê-se: O limite de $2x+1$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $5$.

Vamos partir para um novo exemplo a fim de fundamentarmos esse conteúdo.

Seja
$$f\left( x \right) =\begin{cases} { x }^{ 2 }-4,\quad se\quad x>0 \\ 3-x,\quad se\quad x\le 0 \end{cases} $$
Determine:
$$  \lim _{ x\rightarrow {0}}{ f(x) }$$
Perceba que essa função possui duas condições, ou seja, devemos considerá-la como sendo ${ x }^{ 2 }-4$ quando $x>0$ e considerá-la como sendo $3-x$ quando $ x\le 0$.

Analisando o limite dessa função a direita de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela direita a função $f(x)$ irá se aproximar de $-4$, logo:
$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ f(x) } =-4 $$

Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela direita é igual a $-4$.

Analisando o limite dessa função a esquerda de zero temos que a medida que aproximarmos o valor de $x$ a $0$ pela esquerda a função $f(x)$ irá se aproximar de $3$, logo:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ f(x) } =3 $$

Lê-se: O limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ pela esquerda é igual a $3$.

Note que os limites laterais dessa função são diferentes, portanto podemos afirmar que essa função não possui limite quando $x$ tende a $0$ (zero), ou seja:

$$ \lim _{ x\rightarrow { 0 }}{ f(x) } = \nexists $$

Considerações Finais

Na aula de hoje aprendemos basicamente o que são limites laterais e para que servem. Na próxima aula iremos aprender a realizar essa análise de limites laterais de uma maneira bem mais prática e rápida utilizando os gráficos das funções que iremos trabalhar. 

Para complementar essa aula de hoje deixo, ainda, como recomendação de estudo que assistam a seguinte aula: Limites através de gráficos de funções, do meu amigo Rafael Procopio do Canal Matemática Rio.


É fundamental que você pratique em casa como construir o gráfico de funções básicas como: funções do primeiro e segundo grau, funções modulares, funções exponenciais entre outras. Recomendo que assistam as aulas do canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie, lá você irá encontrar todas essas explicações sobre construção de gráficos de funções.

Aula Anterior Próxima Aula