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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

O uso da Geometria em questões Algébricas

Talvez você não saiba, mas há muito tempo o pensamento matemático era mais voltado à Geometria, ou seja, à utilização de artifícios geométricos do que à utilização de artifícios algébricos. Neste artigo você irá conhecer toda a história por trás do uso das figuras geométricas em questões algébricas. Desejo a você uma ótima leitura!


O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais. A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a empregá-la, sempre que possível, na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos de Euclides se encontram algumas identidades algébricas, tais como:
$$ { (a+b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2\cdot a\cdot b+{ b }^{ 2 }\\ (a+b)\cdot (a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }\\ 4\cdot a\cdot b+{ (a-b) }^{ 2 }={ (a+b) }^{ 2 } $$
Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações utilizando artifícios geométricos. 

Por exemplo: O produto “$ a\cdot b $ ” era visto como o resultado da área de um retângulo de base “$a$” e altura “$b$”. Assim a identidade $ {(a+b) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2\cdot a\cdot b+{ b }^{ 2 } $ era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:
E enunciada da seguinte maneira:
Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.
Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação. Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de vértices $ABDE$, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas $a^{2}$ e $b^{2}$ (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são os dois retângulos de área “$ a\cdot b $” (em verde).

Essa proposição (4) é uma representação da maneira como os problemas que envolviam álgebra eram concebidos e apresentados naquela época. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.  

Sem dúvidas a utilização da Geometria em questões algébricas proporciona um melhor entendimento dos assuntos por que podemos "visualizar" assuntos, antes abstratos para os alunos. Você concorda com a utilização da Geometria para explicar alguns assuntos que antes eram explicados exclusivamente por meio de artifícios algébricos? O que você pensa sobre o impacto que esse tipo de aplicação pode causar nos alunos de hoje em dia? Será que para eles é mais fácil utilizar a Álgebra em detrimento da Geometria ou vice-versa ou será que a melhor saída ainda é trabalhar com as duas sempre que possível?

Obrigado pela leitura, um grande abraço, bons questionamentos e até a próxima.
O uso da Geometria em questões Algébricas Reviewed by Romirys Cavalcante on 13.8.17 Rating: 5

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