Medidas de tendência central: média, moda e mediana

Quando alguém afirma que a temperatura média, ontem, de sua cidade, foi de 20°C, todo o conjunto de temperaturas de ontem foi representado por um único valor que, nesse caso, foi a média aritmética dessas temperaturas. A média aritmética é uma das medidas de tendência central que abordaremos nessa publicação.

As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, que você viu no título dessa postagem, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores. Além da média aritmética, iremos aprender, nessa publicação, também sobre a mediana e a moda.

Média Aritmética

Dada a sequência $1, 2, 3, 4, 5$, como determinar a sua média aritmética? A média aritmética é obtida somando-se todos os números dessa sequência e dividindo pela quantidade de números que a sequência possui, que são 5 números, ou seja:
$$ m.a.=\frac { 1+2+3+4+5 }{ 5 } \\ m.a.=\frac { 15 }{ 5 } \\ m.a.=3 $$

Se considerarmos um conjunto de valores ${ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },{ x }_{ 3 },{ x }_{ 4 },{ \dots ,x }_{ n }$. A média aritmética dos valores desse conjunto é dada por:$$ m.a.=\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }+{ x }_{ 4 }+{ \dots +x }_{ n } }{ n } $$

Moda

O termo “moda” foi utilizado pela primeira vez em 1895 por Karl Pearson (1857-1936), possivelmente em referência ao seu significado usual. Embora a palavra “moda” possa estar relacionada a desfiles e roupas em geral, em um sentido mais amplo, significa uma ação, uma atitude ou um pensamento que é mais praticado ou frequente.

Para ilustrar esse amplo conceito, iremos supor um exemplo, onde foi feita uma pesquisa sobre a preferência de um grupo de alunos em relação ao curso superior que desejariam cursar ao passar no vestibular, veja:

Pergunta: Nessa pesquisa existe algum curso superior que foi mais citado?

A resposta é sim, existe um curso mais citado. Esse curso mais citado foi o de Engenharia (citado duas vezes), os demais foram citados apenas uma vez. Por isso, a opção “Engenharia” é a moda desse conjunto, o valor dominante ou valor típico nesse grupo. De acordo com o conceito podemos deduzir que a moda é sempre o valor mais frequente em um conjunto de dados.

Observe alguns exemplos:

Considere um conjunto $P=\{ 3,6,8,5,3,4,7\} $. Nesse exemplo é fácil perceber que a moda é igual a $3$, pois este valor é o mais frequente neste conjunto, ou seja, o número $3$ foi o único que apareceu mais vezes dentre os demais números do conjunto $P$.

Considere um conjunto $Q=\{ 1,2,4,5,7,8,9,3\} $. Note que nesse exemplo nenhum número se repete mais de uma vez no conjunto $Q$, portanto dizemos que esse conjunto não possui moda ou, em outras palavras, chamamos ele de Amodal.

Classificações da moda:

É importante que você saiba que a moda, em um conjunto, pode assumir quatro classificações possíveis. A seguir irei apresentar essas classificações e suas principais características:

# Amodal, quando não existe moda. 
Exemplo: $A=\{ 7,5,4,8,3\} $

# Unimodal, quando há apenas uma única moda. 
Exemplo: $B=\{8,6,8,5,1,4,7,8\} $ 

# Bimodal, quando há exatamente duas modas. 
Exemplo:  $C=\{8,6,4,5,1,15,4,7,8\} $

# Multimodal, quando há três ou mais modas. 
Exemplo: $D=\{9,1,8,5,1,4,8,5,7,12\} $ 

Importante:

A moda pode ser utilizada para representar tanto um conjunto de dados numéricos como um conjunto de dados nominais. Por exemplo, quando eu comecei a falar sobre a moda, nessa publicação, perguntei qual curso tinha se destacado entre os demais naquela pesquisa e foi até o curso de engenharia que mais se destacou certo? Pois bem, aquele conjunto formado pelos nomes dos cursos é um exemplo de conjunto nominal, ou seja, um conjunto formado apenas por nomes. 

Mediana

Mediana é uma medida de tendência central que tem a característica de dividir um conjunto ao meio. Isto é, a mediana de um conjunto o separa em duas partes de modo que 50% dos valores sejam menores que ela e 50% dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem crescente ou decrescente a mediana é o termo central desse conjunto ou o elemento que está bem no meio.

Por exemplo: Considere um conjunto A, tal que: $A=\{6,4,2,7,8,4\} $. Em primeiro lugar colocamos esse conjunto em ordem crescente ou decrescente, tanto faz. Geralmente costumo colocar sempre na ordem crescente para melhor entendimento do assunto. Logo o conjunto $A$ ficará da seguinte maneira:

$$ A=\{2,4,4,6,7,8\} $$

Note que essa sequencia é formada por um número par de termos, ou seja, por seis termos. Portanto existem dois termos centrais: os que ocupam a 3ª e 4ª posições. Logo qualquer valor que se encontre entre esses dois termos, no caso, o $4$ e o $6$, pode dividir o conjunto em duas partes com a mesma quantidade de elementos. Porém, de acordo com a própria definição, nesses casos em que o conjunto apresenta dois termos centrais, consideramos a média aritmética entre esses dois termos para ser o termo central, ou seja, no nosso caso devemos somar os dois termos centrais $4 + 6 = 10$ e dividir  o resultado por $2$, assim obteremos o valor $5$ como resposta para o termo central do conjunto $A$.

Lembre-se:

Quando há um número ímpar de termos em um conjunto, existirá um único termo central. Nesses casos a mediana será o próprio termo central, sem dificuldades.

Exemplo: Considerando um conjunto $B=\{5,7,9,1,2,2,6\} $ determinar a mediana desse conjunto. Primeiro devemos organizar esse conjunto em ordem crescente ou decrescente, conforme a sua preferência. Em ordem crescente o conjunto ficaria assim: 

$$ B=\{1,2,2,5,6,7,9\} $$

Nesse caso o termo central é o que se encontra na 4ª posição, ou seja, o número $5$. Dizemos então que o número $5$ é a mediana desse conjunto pois é ele que se encontra bem no centro dele.

Importante:

Para obter a mediana de um conjunto de dados, devemos sempre ordenar esse conjunto. A ordem pode ser crescente ou decrescente, como eu já disse, tanto faz. Se o conjunto tiver um número ímpar de termos, a mediana é o próprio termo central. Caso o conjunto tenha um número par de termos, a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais.

Conclusão:

Estamos chegando ao fim de mais um artigo aqui no Vivendo entre Símbolos, espero ter esclarecido suas dúvidas sobre as medidas de tendencia centrais e suas principais características. Não pense que essas três são as únicas medidas de tendencia centrais que existem. Em breve estarei publicando artigos que irão focar nas demais medidas de tendência central que não foram mencionadas nesse artigo. Um grande abraço, obrigado pela leitura, bons estudos e até a próxima.