Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Hoje irei demonstrar para você como chegar a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de "n" lados. Devemos conhecer as definições de algumas palavras chaves antes de darmos início à matéria propriamente dita. Devemos definir o que é uma linha poligonal, um polígono e por fim o que é um polígono convexo. 

Linha Poligonal

É uma linha formada por um conjunto de retas sucessivas e não-colineares. Recomendo que antes de você continuar lendo esta publicação leia nosso artigo sobre o que é uma linha poligonal para não ter dúvidas a respeito desse conteúdo e fundamentar ainda mais o conteúdo abaixo sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. 

Polígono

É uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. 

Por exemplo:

 

Polígono Convexo

Um polígono convexo é aquele em que se pegarmos dois pontos quaisquer pertencentes ao polígono e traçarmos uma reta entre esses dois pontos, toda essa reta deve pertencer também ao polígono. Veja isso esquematicamente falando:

Observe a figura ao lado e note que pegamos alguns pontos pertencentes a este polígono. Agora imagine uma reta ligando os pontos de A para B, ou de C para A, ou de C para D ou de B para D, tanto faz, em todos esses casos você vai perceber que a reta formada, por quaisquer que sejam os dois pontos escolhidos, sempre se encontrará dentro do próprio polígono. Portanto podemos dizer que esse polígono da figura ao lado é convexo.

Veja o próximo exemplo a seguir:

Note que se pegarmos o ponto A, pertencente ao polígono, e traçarmos uma reta até o ponto B, também pertencente ao polígono, nem toda a reta que foi formada estará contida dentro do próprio polígono portanto, nesse caso, dizemos que esse é um polígono não convexo ou côncavo. 

Demonstração da soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Agora que já sabemos as definições necessárias vamos dar início a matéria sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Primeiramente devemos saber que para todo triângulo a soma de seus ângulos internos vale sempre 180°. Sabendo disso podemos começar a fazer algumas observações nos seguintes exemplos abaixo, veja:

Lembre-se: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180°.

Agora vamos determinar a soma dos ângulos internos desse quadrilátero ao lado a partir do simples conhecimento de que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Observe que podemos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, veja na figura seguinte como ficaria:

Veja que esse quadrilátero é formado por dois triângulos. Então se quisermos saber a soma dos ângulos internos dele basta sabermos a soma dos ângulos internos dos dois triângulos que o formam, e como um triângulo possui 180° de soma dos ângulos internos então dois triângulos vão possuir 2 · 180° = 360°, ou seja, a medida dos ângulos internos do quadrilátero vale 360°.

Vamos ao próximo exemplo:

Vamos determinar a soma dos ângulos internos desse pentágono, para isso vamos escolher um de seus vértices e a partir dele iremos traçar retas aos outros vértices que faltam e veremos no final que esse pentágono pode ser dividido em três triângulos, veja:

Para determinar a soma de seus ângulos internos basta multiplicarmos 180° por 3, pois temos 3 triângulos formando esse pentágono, então: 3 · 180° = 540°. Descobrimos que a soma dos ângulos internos de um pentágono vale 540º. 

Vamos ao nosso ultimo exemplo para então formularmos nossa equação para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo de "n" lados.

Veja o hexágono a seguir:

 

Note que podemos dividir esse hexágono em quatro triângulos com aquele mesmo processo de antes, escolhendo um de seus vértices e a partir dele traçando retas aos vértices que faltam, veja:

 

Agora para saber a soma dos ângulos internos desse hexágono basta multiplicarmos 180º pelo número de triângulos que esse hexágono é formado. Como são 4 triângulos então temos que: 4 · 180° = 720°, ou seja, a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono vale 720°.

Veja que quando fomos determinar a soma dos ângulos internos do quadrilátero conseguimos dividi-lo em 2 triângulos, quando fomos para o pentágono conseguimos dividi-lo em 3 triângulos e quando fomos para o hexágono conseguimos dividi-lo em 4 triângulos.

Você percebeu???

• O quadrilátero possui 4 lados e é composto por 2 triângulos
• O pentágono possui 5 lados e é composto por 3 triângulos
• O hexágono possui 6 lados e é composto por 4 triângulos

Se continuássemos com os exemplos notaríamos também que um polígono de 7 lados é composto por 5 triângulos, um polígono de 8 lados é composto por 6 triângulos. 

Observe que: O número de triângulos que podemos formar em um polígono convexo é sempre o número de lados desse polígono menos duas unidades. Essa é a relação que queríamos observar desde o início, pois sabendo disso podemos fazer a seguinte afirmação:

A soma dos ângulos internos de um polígono de "n" lados é igual a 180° vezes o número de lados menos 2, pois é o número de triângulos que formam o polígono. Podemos concluir então que: A soma dos ângulos internos = 180° · (n – 2)

Apenas para deixar mais organizada a equação irei substituir o termo "A soma dos ângulos internos" por Si, resultando na seguinte equação:

Si = 180° · (n – 2)

Essa é a fórmula que utilizamos para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Para fundamentar melhor esse conteúdo irei mostrar um exemplo de como aplicar essa fórmula em uma pergunta sobre polígono convexo e ângulo interno, veja:

Pergunta:

Determine a soma dos ângulos internos de um Heptágono regular.

Resposta:

Primeiro devemos saber que um heptágono regular possui 7 lados. Então já podemos concluir que o número de lados do polígono em questão é 7 ou seja: n = 7. Agora basta substituirmos o valor de "n" na fórmula para calcular a soma dos ângulos internos que acabamos de demosntrar, veja:

Si = 180 · (n - 2)

Si = 180 · (7 - 2)

Si = 180 · (5)

Si = 900º  

Um grande abraço e a até a próxima.