Aula 1 - O que é Limite?

Esta é a primeira aula do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral que foi divulgado há alguns dias atrás aqui mesmo no blog Vivendo entre Símbolos. A aula de hoje irá abordar o tema: O que é Limite? e vai apresentar de forma clara e objetiva sua definição e principais características. Lembro apenas que para começarmos a falar sobre Limites faz-se necessário que você tenha uma boa base sobre o conteúdo de funções e sobre as propriedades de fatoração de polinômios.

O que é Limite?

Quando você se depara com essa pergunta o que vem a sua mente? Se sua resposta for o limite de alguma coisa, não se preocupe, você está totalmente correto. Segundo o dicionário da língua portuguesa limite tem como significado o extremo de algo ou o alcance máximo possível de algo. 

Exemplo: Imagine que você está prestes a chutar uma bola de futebol contra uma parede. É fácil percebermos que, nesse caso, a parede está atuando como o limite para a trajetória da bola, ou seja, é a fronteira onde a bola pode chegar. 

Na disciplina de Cálculo a palavra Limite não foge muito dessa definição que mostrei anteriormente, a única mudança é que estaremos a todo momento estudando os limites de funções, ou seja, o limite estuda o comportamento de uma função quando atribuímos valores a ela, próximo a um ponto dado, e analisamos os seus resultados.

Noção intuitiva de Limite

Suponha que você tenha uma função $f(x) = 2x + 3$ com seu Domínio e Imagem definida nos Reais. Vamos estudar o comportamento dessa função $f(x)$ quando atribuímos a ela valores próximos de $2$, lembrando que esses valores podem ser menores e/ou maiores que $2$.

Para valores menores que $2$, mas bem próximos dele, temos:

$x$	$f(x)=2x+3$
1,8	6,6
1,9	6,8
1,97	6,94
1,99	6,98
1,999	6,998

Para valores maiores que $2$, mas bem próximos dele, temos:

$x$	$f(x)=2x+3$
2,1	7,2
2,05	7,1
2,03	7,06
2,01	7,02
2,0001	7,0002

Note que quanto mais aproximamos os valores de $2$, tanto por valores menores quanto por valores maiores, observamos que os resultados da função $f(x) = 2x + 3$ se aproxima do valor $7$. Nesse caso dizemos então que o limite da função $f(x) = 2x + 3$ quando $x\rightarrow 2$ (lê-se: $x$ tende a $2$) é igual a $7$ e representamos esse resultado da seguinte maneira:

$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+3 }=7$$(Lê-se: o limite da função $2x + 3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$)

Atenção: Muitas pessoas, quando se deparam pela primeira vez com o conteúdo de Limites, pensam que para resolvê-los basta substituir o valor de $x$ na função e ver seu resultado. Isso acontece, muitas das vezes, porque o professor passa muitos exemplos parecidos com o que eu acabei de mostrar acima, causando a falsa impressão de que essa afirmativa é verdadeira, quando na verdade, isso é errado.

O limite de uma função "$f(x)$" quando "$x$" tende a um valor "$a$", não se resume em calcular o valor de "$f(x)$" no ponto "$a$", pois, às vezes, uma função pode não estar definida no ponto "$a$" ou ser diferente do resultado dessa função nesse ponto, ou seja, existem casos em que pode existir a seguinte relação:
$$ \lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } \neq f(a)$$ Por isso, peço que não cometa esse erro de pensar que o limite é apenas substituir o valor de "$x$" na função, pois na realidade isso não é verdade.

Mas isso não quer dizer que o limite de uma função nunca coincidirá com o resultado dessa função no ponto, ou seja, existem casos em que:
$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =f(a)$$ O importante é lembrar que para cada limite que resolvermos devemos analisá-lo cuidadosamente, para que possamos resolvê-lo da melhor forma possível evitando possíveis erros.

Importante: Existem alguns casos em que a função "$f(x)$" não está definida no ponto em que queremos encontrar seu limite, portanto, nestes casos, seria perda de tempo substituir o valor de "$x$" nela, pois não chegaríamos a nada, quer dizer, até chegaríamos, mas seria numa indeterminação e isso não ajuda em muita coisa.

Veja um exemplo: Calcule o limite da expressão abaixo;$$\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }  } $$ No exemplo acima queremos encontrar o limite da função $\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }$ quando "$x$" tende a "$3$". Veja o que aconteceria se apenas substituíssemos o valor "$3$" na função:
$$\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } =\frac { { 3 }^{ 2 }-9 }{ 3-3 } =\frac { { 9 }-9 }{ 3-3 } =\frac { 0 }{ 0 } $$ Veja que não podemos efetuar uma divisão de $0$ por $0$, logo essa função não está definida neste ponto, mas isso não quer dizer que ela não possua um limite.

Para encontrar o limite desta função temos que recorrer a alguns conhecimentos básicos de fatoração de polinômios. Observe que o termo de cima da fração nos lembra um produto notável conhecido como diferença de dois quadrados, logo pode ser reescrito da seguinte maneira:
$$\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } =\frac { { x }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } }{ x-3 } =\frac { (x+3)\cdot (x-3) }{ x-3 } =x+3$$ Observe que quando efetuamos essa fatoração "cancelamos" o termo "$x-3$" do numerador com o termo "$x-3$" do denominador e só fizemos isso por que sabemos que o valor de "$x \neq 3$", caso contrário teríamos zero dividido por zero, ou seja, uma indeterminação.

Observação: Os processos de fatoração servem para que possamos sair da indeterminação de funções em um determinado ponto resultando em expressões mais simples para essas funções que possuem o mesmo limite. 

Note que após esse "cancelamento" chegamos à expressão "$x +3$" para à função, cujo limite quando "$x$" tende "$3$" será equivalente ao da expressão anterior dessa função, logo, podemos dizer que:
$$\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ (x+3) } =3+3=6$$ Lembre-se que, por mais que eu tenha substituído o valor $3$ nessa nova expressão da função, na verdade ele não é $3$, ou seja, é um número tão próximo de $3$, mas tão próximo, que será quase $3$, mas nunca será igual a $3$.

É por esse motivo que quando estávamos efetuando a fatoração da função dada, foi possível eliminarmos o termo "$x-3$" do numerador da fração com o termo "$x-3$" do denominador da fração, pois o valor de "$x$" não era, e nunca será, igual a $3$. Lembre-se bem disso!

Considerações Finais

Essa aula $1$ serviu, basicamente, para introduzir a noção intuitiva de Limite. Na próxima aula serão abordados conteúdos de revisão que serão necessários para podermos entender a definição formal  de Limites. Será uma aula um pouco longa, porém bem interessante, por esse motivo, recomendo a leitura.

Alguma dúvida em relação ao que é um limite? O que você achou da linguagem utilizada nesta primeira aula do nosso curso de Cálculo? Será que fui claro nas explicações que mencionei, ou ainda é preciso melhorar essa aula? Os exemplos estão esclarecendo as dúvidas conceituais propostas inicialmente no artigo que é a de conceituar intuitivamente o limite? O que você acha de explicações como essa em forma de Vídeo-Aulas? Conto com o seu feedback para que as próximas aulas sejam mais elaboradas.

Obrigado pela leitura, um abraço e até breve!

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