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O uso das figuras geométricas em questões algébricas

O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais.

A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a emprega-la sempre que possível na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
4ab + (a – b)² = (a + b)²

Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações geometricamente.


Por exemplo, o produto “ab” era visto como um retângulo de base “a” e altura “b”. Assim a identidade (a + b)² = a² + 2ab + b² era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:

e enunciada da seguinte maneira:
Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm.
Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação.


Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de ABDE, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas a² e b² (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são dois retângulos de área “ab” (em verde).

Essa proposição (4) é representativa da forma como os problemas que envolvem álgebra eram concebidos e apresentados. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.  

Espero que tenha gostado da publicação. Deixe seu comentário, pois assim você fara com que o blog cresça ainda mais. Agradeço pela atenção e até a próxima... 
O uso das figuras geométricas em questões algébricas Reviewed by Romirys Cavalcante on 31.10.12 Rating: 5

2 comentários:

  1. Olá, Romirys!!!!
    bom dia!!!!

    Gostei do post, até porque, aprendi situar no tempo e no espaço, rsrsrsrs, quem e como inventou tudo isso sobre os produtos notáveis!!!!

    No meu blog Matemágicas e Números, através das minhas últimas postagens, ensino como empregar o "P. Q. P. Valdir/Newton", um algoritmo que criei há vinte anos, que resolve de maneira não tradicional, um produto notável do tipo... (a + b) ^ 2!!!! Mas, acredito que você já deve ter lido tal artigo, pois, o... "Solução para o desafio Big Susto" faz parte dessa edição do Carnaval da UBM!!!! Gostaria que você postasse um comentário sobre o mesmo, lá no blog, pode ser???? Obrigado!!!!!

    Muita saúde, bons trabalhos, ótimos carnavais e fica na paz!!!!

    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Valdir é um prazer vê-lo comentando novamente em umas das publicações do meu blog, agradeço de coração suas visitas e comentários. Irei visitar sua publicação em seu blog e com certeza deixarei meu comentário por lá...

      Agradeço sua visita e espero que volte mais vezes parceiro, abraços!!!

      Excluir

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