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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Demonstração do Teorema de Pitágoras

No artigo de hoje você irá aprender uma das inúmeras maneiras que existem para demonstrar o famoso Teorema de Pitágoras. Vale ressaltar, antes de tudo, que Pitágoras foi um grande matemático e filósofo que viveu na Grécia por volta do ano $570 a.C.$ numa ilha chamada de Samos. É por esse motivo que, muitas vezes, ele é tratado em artigos na web como Pitágoras de Samos.

O Teorema de Pitágoras é enunciado da seguinte maneira:
Em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos seus catetos. 

Importante: Lembre-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado que fica oposto ao seu ângulo reto enquanto que os demais lados são chamados de catetos. Com isso podemos dizer que em um triângulo $ABC$ com hipotenusa no lado "$a$" e catetos nos lados "$b$" e "$c$", temos:
$$a^2 = b^2 + c^2$$
A ideia principal desse pequeno artigo de hoje é mostrar de uma forma bem simples que essa afirmação é válida para todo e qualquer triângulo retângulo. Para isso irei tomar como base o triângulo mostrado anteriormente.

Demonstração

A princípio iremos imaginar uma reta que irá sair do vértice "A" (o vértice que possui o ângulo reto) de maneira perpendicular em direção ao lado "a" e diremos que o ponto de encontro dessa reta com esse lado será "D", então nossa figura ficará assim agora:


Note que essa reta que acabamos de construir nada mais é do que a própria altura do nosso triângulo. Vamos dizer então que essa altura mede "h". Perceba também que, depois que eu tracei essa reta (altura), o lado "a" ficou dividido em dois pedaços. Irei dizer que esses pedaços medem "m" e "n" então nossa figura ficará da seguinte maneira agora, veja:

Agora iremos dizer que os vértices "B" e "C" possuem os ângulos medindo "x" e "y" respectivamente, então nossa nova figura ficará da seguinte maneira, veja:


Se observarmos bem veremos que "x+y = 90º" olhando para o triangulo ABC (maior). Então podemos, ainda, preencher os dois triângulos menores ABD e ADC pelos ângulos que faltam, que no caso serão "x" e "y". Veja como ficará a nossa nova figura:


Essa é a figura que estávamos querendo chegar desde o início, pois será com ela que iremos tirar as deduções necessárias para demonstrarmos a formula de Pitágoras. Essa figura nos permite deduzir que os triângulos ABC, ABD e ADC são semelhantes entre si e isso nos permite fazer algumas relações matemáticas com seus lados.

Para ficar mais clara ainda essa explicação irei separar esses três triângulos, veja:



Agora faremos nossas observações. Olhando somente para os triângulos ABC e ABD temos: 


Olhando somente para os triângulos ABC e ADC temos:


Sabemos que b² = a•n e que c² = a•m então se somarmos b² com c² seria o mesmo que estarmos somando a*n com a*m já que são iguais. Iremos fazer isso para ver o que acontece, veja:
$$b^2+c^2=a\cdot n+a\cdot m$$
Colocando o "a" do segundo membro em evidência temos que:
$$b^2+c^2=a\cdot (m+n)$$
Lembra que no início desse artigo eu mencionei que o lado "a" tinha se dividido em dois pedaços e que eu decidi chamar esses "dois pedaços" de "m" e "n"? Lembrando disso, podemos dizer que se eu unir novamente esses dois pedaços voltaremos a ter o lado "a", ou seja:
$$ m+n=a $$
Logo podemos continuar nossos cálculos da seguinte maneira:
$$ b^{ 2 }+c^{ 2 }=a\cdot (m+n)\\ b^{ 2 }+c^{ 2 }=a\cdot a\\ b^{ 2 }+c^{ 2 }=a^{ 2 } $$
ou ainda que
$$ a^2 = b^2 + c^2$$
Essa foi a demonstração de hoje. Espero que tenha gostado. Um grande abraço e até a próxima!
Demonstração do Teorema de Pitágoras Reviewed by Romirys Cavalcante on 20.12.12 Rating: 5

18 comentários:

  1. Muito bom, Parabéns!

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    1. Obrigado pelo elogio! Obrigado também por comentar nesta publicação. Um grande abraço e até a próxima visita!

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Marcos A. Guerrieri8 de agosto de 2014 15:11

    EXCELENTE !!! Simples, rápido, claro e eficiente !!!
    Eu vi cada mágica na net para demonstrar esse teorema, que é de cair o queixo.
    Essa sua ficou MARAVILHOSA !!!
    Eu so queria saber como o PITÁGORAS provou o teorema dele ... será que eu acho isso em algum lugar?

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    1. Olá Marcos!

      Fico feliz que tenha gostado deste artigo e mais feliz ainda por ter comentado nele. No link abaixo você vai encontrar o método que Pitágoras utilizou para demonstrar seu teorema, espero que ajude.

      O Teorema de Pitágoras

      Um grande abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Romirys, a sua prova ficou BEM mais convincente do que a do Pit !!! heheheheheehe
      Será que foi assim mesmo que ele demonstrou o teorema dele??? Tenho dúvidas, pois isso não é uma demonstração ... ele pegou UM CASO ... isso não garantiria que o teorema funcionaria para TODOS os triangulos ...

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    3. Olá!

      Existem várias demonstrações para esse teorema tão conhecido. Creio que ele não tenha utilizado essa demostração para provar seu teorema, provavelmente ele usou algo mais geral para englobar todos os casos possíveis... Só estudando a fundo a história dele para conhecer qual método ele usou... Obrigado por comentar, uma pena que não se identificou , mas mesmo assim foi ótimo o comentário. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. Excelente demonstração, parabéns

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    1. Olá!

      Muito obrigado pelo elogio, volte mais vezes... Bons estudos...

      Att. Romirys Cavalcante

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  4. ÓTIMA DEMONSTRAÇÃO!!!!! ME AJUDOU MUITO

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    1. Olá!

      Muito obrigado pelo elogio, volte mais vezes... Bons estudos...

      Att. Romirys Cavalcante

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  5. Excelente perfeito para a minha apresentação sobre como chegar em a²=b²+c². Meu professor vai gostar muito!

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    1. Olá!

      É sempre bom poder contribuir com os estudos de meus leitores aqui do blog. Obrigado por comentar e participar.

      Att. Romirys Cavalcante

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  6. existe uma forma que eu acho mais fácil. É através da geometria.

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    1. Olá!

      Como eu já havia citado, existem inúmeras maneiras de se resolver este teorema, umas mais fáceis e outras nem tanto. Obrigado por comentar aqui no blog, um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. Muito interessante!!!
    Meu professor de matemática mostrou-nos por outro método,mas este é muito legal também.Parabéns!!!

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    1. Olá & Ana Stoeberl Bueno!

      Fico muito feliz em saber que gostou do método que utilizei nesta publicação. Bons estudos, um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  8. Caro Romyris, comecei ontem a estudar as relações métricas do triângulo retângulo cheguei até achar b²= am e c²=an; mas fiquei, sem saber como chegar no a²;até que hoje o achei aqui! Ficou fácil demais! Lógico que foi assim que o Pitágoras chegou ao enunciado dele. Quem sabe ensina fácil, quem sabe pouco enrola muito e o aluno sai enrolado. Parabéns, amei. Meu nome é Maria Luzia Villela, mas vou pôr anônimo, pois acho mais fácil.

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    Respostas
    1. Olá Maria Luzia Villela!

      Eu deixo a opção anônimo por conta da praticidade em comentar, fico feliz quando, mesmo assim, as pessoas se identificam para que eu possa saber a quem devo agradecer pelo comentário. Fico muito feliz em saber que contribui com o seu aprendizado. Em breve irei dar uma atualizada nessa publicação e deixar ela mais clara e explicativa. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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