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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 1 - O que é Limite?

Esta é a primeira aula do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral que foi divulgado há alguns dias atrás aqui mesmo no blog Vivendo entre Símbolos. A aula de hoje irá abordar o tema: O que é Limite? e vai apresentar de forma clara e objetiva sua definição e principais características. Lembro apenas que para começarmos a falar sobre Limites faz-se necessário que você tenha uma boa base sobre o conteúdo de funções e sobre as propriedades de fatoração de polinômios.

O que é Limite?

Quando você se depara com essa pergunta o que vem a sua mente? Se sua resposta for o limite de alguma coisa, não se preocupe, você está totalmente correto. Segundo o dicionário da língua portuguesa limite tem como significado o extremo de algo ou o alcance máximo possível de algo. 

Exemplo: Imagine que você está prestes a chutar uma bola de futebol contra uma parede. É fácil percebermos que, nesse caso, a parede está atuando como o limite para a trajetória da bola, ou seja, é a fronteira onde a bola pode chegar. 

Na disciplina de Cálculo a palavra Limite não foge muito dessa definição que mostrei anteriormente, a única mudança é que estaremos a todo momento estudando os limites de funções, ou seja, o limite estuda o comportamento de uma função quando atribuímos valores a ela, próximo a um ponto dado, e analisamos os seus resultados.

Noção intuitiva de Limite

Suponha que você tenha uma função $f(x) = 2x + 3$ com seu Domínio e Imagem definida nos Reais. Vamos estudar o comportamento dessa função $f(x)$ quando atribuímos a ela valores próximos de $2$, lembrando que esses valores podem ser menores e/ou maiores que $2$.

Para valores menores que $2$, mas bem próximos dele, temos:
$x$
$f(x)=2x+3$
1,8
6,6
1,9
6,8
1,97
6,94
1,99
6,98
1,999
6,998

Para valores maiores que $2$, mas bem próximos dele, temos:
$x$
$f(x)=2x+3$
2,1
7,2
2,05
7,1
2,03
7,06
2,01
7,02
2,0001
7,0002

Note que quanto mais aproximamos os valores de $2$, tanto por valores menores quanto por valores maiores, observamos que os resultados da função $f(x) = 2x + 3$ se aproxima do valor $7$. Nesse caso dizemos então que o limite da função $f(x) = 2x + 3$ quando $x\rightarrow 2$ (lê-se: $x$ tende a $2$) é igual a $7$ e representamos esse resultado da seguinte maneira:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+3 }=7$$(Lê-se: o limite da função $2x + 3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$)

Atenção: Muitas pessoas, quando se deparam pela primeira vez com o conteúdo de Limites, pensam que para resolvê-los basta substituir o valor de $x$ na função e ver seu resultado. Isso acontece, muitas das vezes, porque o professor passa muitos exemplos parecidos com o que eu acabei de mostrar acima, causando a falsa impressão de que essa afirmativa é verdadeira, quando na verdade, isso é errado.

O limite de uma função "$f(x)$" quando "$x$" tende a um valor "$a$", não se resume em calcular o valor de "$f(x)$" no ponto "$a$", pois, às vezes, uma função pode não estar definida no ponto "$a$" ou ser diferente do resultado dessa função nesse ponto, ou seja, existem casos em que pode existir a seguinte relação:
$$ \lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } \neq f(a)$$ Por isso, peço que não cometa esse erro de pensar que o limite é apenas substituir o valor de "$x$" na função, pois na realidade isso não é verdade.

Mas isso não quer dizer que o limite de uma função nunca coincidirá com o resultado dessa função no ponto, ou seja, existem casos em que:
$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =f(a)$$ O importante é lembrar que para cada limite que resolvermos devemos analisá-lo cuidadosamente, para que possamos resolvê-lo da melhor forma possível evitando possíveis erros.

Importante: Existem alguns casos em que a função "$f(x)$" não está definida no ponto em que queremos encontrar seu limite, portanto, nestes casos, seria perda de tempo substituir o valor de "$x$" nela, pois não chegaríamos a nada, quer dizer, até chegaríamos, mas seria numa indeterminação e isso não ajuda em muita coisa.

Veja um exemplo: Calcule o limite da expressão abaixo;$$\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }  } $$ No exemplo acima queremos encontrar o limite da função $\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }$ quando "$x$" tende a "$3$". Veja o que aconteceria se apenas substituíssemos o valor "$3$" na função:
$$\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } =\frac { { 3 }^{ 2 }-9 }{ 3-3 } =\frac { { 9 }-9 }{ 3-3 } =\frac { 0 }{ 0 } $$ Veja que não podemos efetuar uma divisão de $0$ por $0$, logo essa função não está definida neste ponto, mas isso não quer dizer que ela não possua um limite.

Para encontrar o limite desta função temos que recorrer a alguns conhecimentos básicos de fatoração de polinômios. Observe que o termo de cima da fração nos lembra um produto notável conhecido como diferença de dois quadrados, logo pode ser reescrito da seguinte maneira:
$$\frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } =\frac { { x }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } }{ x-3 } =\frac { (x+3)\cdot (x-3) }{ x-3 } =x+3$$ Observe que quando efetuamos essa fatoração "cancelamos" o termo "$x-3$" do numerador com o termo "$x-3$" do denominador e só fizemos isso por que sabemos que o valor de "$x \neq 3$", caso contrário teríamos zero dividido por zero, ou seja, uma indeterminação.
Observação: Os processos de fatoração servem para que possamos sair da indeterminação de funções em um determinado ponto resultando em expressões mais simples para essas funções que possuem o mesmo limite. 
Note que após esse "cancelamento" chegamos à expressão "$x +3$" para à função, cujo limite quando "$x$" tende "$3$" será equivalente ao da expressão anterior dessa função, logo, podemos dizer que:
$$\lim _{ x\rightarrow 3 }{ \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 }  } =\lim _{ x\rightarrow 3 }{ (x+3) } =3+3=6$$ Lembre-se que, por mais que eu tenha substituído o valor $3$ nessa nova expressão da função, na verdade ele não é $3$, ou seja, é um número tão próximo de $3$, mas tão próximo, que será quase $3$, mas nunca será igual a $3$.

É por esse motivo que quando estávamos efetuando a fatoração da função dada, foi possível eliminarmos o termo "$x-3$" do numerador da fração com o termo "$x-3$" do denominador da fração, pois o valor de "$x$" não era, e nunca será, igual a $3$. Lembre-se bem disso!

Considerações Finais

Essa aula $1$ serviu, basicamente, para introduzir a noção intuitiva de Limite. Na próxima aula serão abordados conteúdos de revisão que serão necessários para podermos entender a definição formal  de Limites. Será uma aula um pouco longa, porém bem interessante, por esse motivo, recomendo a leitura.

Alguma dúvida em relação ao que é um limite? O que você achou da linguagem utilizada nesta primeira aula do nosso curso de Cálculo? Será que fui claro nas explicações que mencionei, ou ainda é preciso melhorar essa aula? Os exemplos estão esclarecendo as dúvidas conceituais propostas inicialmente no artigo que é a de conceituar intuitivamente o limite? O que você acha de explicações como essa em forma de Vídeo-Aulas? Conto com o seu feedback para que as próximas aulas sejam mais elaboradas.

Obrigado pela leitura, um abraço e até breve!
Próxima Aula
Aula 1 - O que é Limite? Reviewed by Romirys Cavalcante on 5.10.14 Rating: 5

70 comentários:

  1. Muito bom Romirys. Vou acompanhar de perto esta série de publicações.

    Abraços.

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    Respostas
    1. Olá Kleber!

      Obrigado pelo aviso no comentário anterior, já fiz as alterações devidas. É sempre bom vê-lo comentando aqui no blog. Um abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Olá Romirys!

    Gostei muito do modo como escreveu,...

    Para quem nunca teve contato com o conteúdo, a ideia passada mostra o conteúdo de modo a oportunizar fácil compreensão!

    Parabéns, continuo acompanhando.

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    1. Olá Charles!

      O intuito é basicamente esse, fazer com que aqueles que nunca viram o conteúdo de limites consigam aprender sem dificuldades sua noção intuitiva, para que possa prosseguir com seus estudos na disciplina de cálculo. Obrigado pelo comentário e pela frequência que vem visitando o meu blog, isso sem dúvidas me motiva a continuar com esse projeto ainda mais. Um grande abraço e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. Porque você usou → e ⇒ em vez de utilizar = ?

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    1. Olá!

      Devo ter me equivocado com a construção das equações, devia ter colocado apenas o $=$ mesmo. Obrigado pelo aviso, já estou concertando esse pequeno deslize. Um abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  4. Muito boa aula, linguagem bastante simples, fácil de entender, videoaulas são sempre interessantes para demonstrar a resolução de questões, no mais se fosse sugerir algo acho que seria interessante uma aula mais longa de modo a acompanhar o ritmo da faculdade, mas fora isso está ótima

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    Respostas
    1. Olá Rodrigo!

      Primeiramente gostaria de lhe agradecer os elogios quanto à aula em si, isso sem dúvidas é muito gratificante da parte do leitor. Com relação aos vídeos, provavelmente irei utilizá-los nas aulas que envolverem resoluções de exercícios, pois é melhor de explicar o conteúdo por meio do vídeo. Já com relação a quantidade de conteúdo postado, irei me esforçar para colocar mais aulas durante a semana, mesmo sabendo que além da minha faculdade, ainda trabalho durante a semana como professor de matemática e isso acaba tomando muita parte do meu tempo, logo, volto a repetir que irei me esforçar para postar aulas com mais frequência, no mais agradeço pela visita, pela leitura da aula e pelo feedback dado, isso sem dúvidas irá me ajudar para manter a qualidade das próximas aulas.

      Att. Romirys Cavalcante

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  5. Quando você escreveu lim x + 3, você quis dizer (lim x) + 3 ou lim (x + 3) ?

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    1. Olá!

      Nesse caso eu quis dizer $lim (x+3)$

      Att. Romirys Cavalcante

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  6. Olá Romirys,
    Meu nome é Marlon Zanardi, estudo engenharia da computação, estou estudando esta matéria e estou com um pouco de dificuldade em entender limite e derivada, ao contrario de você, não tive sorte com professor, pois minha aula se resume a exercícios atrás de exercícios e resolução imediata, nem tempo para tentarmos fazer o professor não deixa, e não consigo entender o por que de estar fazendo aquilo e fica mais difícil o entendimento , mas com sua aula de limite já consegui esclarecer algumas coisas, muito obrigado, estou aguardando ansiosamente pela sequencia das aulas, pois preciso entender de tais assuntos, pois além de já estar começando a semana de provas, irei utilizar de tais ferramentas para muitas outras disciplinas.

    Att, Marlon Zanardi.

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    Respostas
    1. Olá Marlon Zanardi!

      Fico contente em saber que minha explicação está lhe ajudando a compreender o conteúdo, essa sem dúvidas é minha maior meta para este curso de cálculo. Infelizmente não disponho de muito tempo para elaborar as aulas, mas na medida do possível vou aproveitando os intervalos vagos para construí-la e publicá-la aqui no VS. Antes eu havia dito que iria publicar essas aulas geralmente nas quartas, quintas ou sextas feiras mas geralmente as aulas estão sendo publicadas mesmo no domingo, então todo domingo pretendo lançar novas aulas, certo!

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. ótima aula e ótima explicação.
    quando devem sair os próximos artigos?

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    1. Olá Nelson Roberto!

      Estou me esforçando para publicar as novas aulas com a maior frequência possível, sempre na medida do possível é claro, pois infelizmente não disponho de muito tempo livre para me dedicar ao blog, mas vai dar certo. Hoje 15.10.2014, provavelmente vou lançar a aula 2 e se der já publico também a aula 3, fique no aguardo!

      Att. Romirys Cavalcante

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  8. Você disse que os valores de $x$ "podem e DEVEM ser menores e maiores que 2". Então, como abordar a função $f(x)=\sqrt{2-x}$ ?

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    Respostas
    1. Olá!

      Sua pergunta é bem pertinente, mas observe que um pouco antes, menciono que a função deve ser definida tanto o domínio como a imagem no conjuntos do $Reais$, portanto essa afirmação não se enquadra no exemplo que você citou, pois quando eu selecionar valores maiores que $2$ teremos valores complexos, os quais ainda não mencionei nas aulas.

      Obrigado por perguntar, espero ter esclarecido sua dúvida, um abraço e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Ok, mas considere a função
      $$g(x)=\left\{\begin{matrix}
      x-2 & \text{se }x\geq 2\\
      0 & \text{se }x< 2
      \end{matrix}\right.$$
      e defina $f(x)=\frac{1}{g(x)}$. Para nenhum valor de $x$ o valor de $f(x)$ é complexo, logo esta função tem domínio e imagem nos reais, certo? Assim sendo, ela se enquadra na afirmação. Então, como abordá-la já que os valores de $x$ "podem e DEVEM ser menores e maiores que 2"?

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    3. Olá Anônimo!
      Há outra questão que verificar, pois para $g(x)$ não há qualquer indeterminação; mas para $f(x)$ há! Perceba que $f(x)$ depende de $g(x)$ e $f(x)$ é uma fração cujo denominador não pode ser nulo. Assim a função $f(x)$ só tem domínio para $x > 2$, não tendo domínio para $x = 2$ ou $x <2$.

      Procure verificar o que ocorre com a função $f(x)$ quando $x$ tende a $2$, com valores superiores a $2^+$, pois não existirá o limite inferior $2^-$.

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    4. Olá !

      Tem razão, nesse caso não temos como calcular f(x) para valores menores que 2 pois caímos em uma indeterminação. Irei concertar essa afirmação feita neste artigo para evitar esse possível "erro".

      Obrigado pela pertinência nesse ponto em específico do artigo.

      Att. Romirys Cavalcante

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    5. Olá Charles!

      Obrigado pela contribuição nesse debate sobre a dúvida levantada pelo amigo "anônimo", você complementou muito bem a questão que ele colocou. Obrigado pela frequência nas leituras e pelos ótimos comentários maninho.

      Att. Romirys Cavalcante

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  9. Olá Romirys, parabéns pela iniciativa. Estou fazendo Engenharia de Computação e este material está me ajudando bastante. Já cadastrado nos favoritos. Sucesso em sua jornada. Abraços
    André

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    1. Olá André!

      Obrigado pelos elogios quanto ao artigo, estou me esforçando para deixar esse conteúdo o mais fácil de compreender possível. Fico no aguardo por novos comentários seus, um abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  10. Ola Romirys Cavalcante ,estou a prestar Engenharia Civil creio q em fevereiro ja comecarei a Facul
    nunca fui expert em matemática mais o desejo de superar esse desafio me fascina e me motiva mais.
    quero mto resolver problemas do dia a dia sei que vou ter que ralar.como trabalho de manha e vou estudar a noite, nao quero chegar na facul sem entender praticamente nada por isso estou me informando desde já. continue escrevendo pois aqui foi o unico lugar q quase consegui entender tudo hahah. vou estudar um pouco fatoração de polinômios ,antes de partir pra proxima aula. Desde ja agradeço.. Att: Nataniel Bazanelli

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    1. Olá Nataniel Bazanelli!

      Fico feliz em saber que meu artigo foi útil e fácil de compreender para você. Se você aproveitar bem as aulas, fizer todos os exercícios propostos, tenho certeza que irá se dar muito bem nessa disciplina.

      A aula 2 desse curso fala justamente sobre fatoração, então recomendo que já confira ela o quanto antes... Obrigado por comentar aqui no blog, um grande abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  11. Se um limite quando x tende a um valor é o mesmo valor da imagem naquele valor, para quê interessa o limite? Grato.

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    1. Olá Joaquim Jr!

      Nem sempre o limite quando $x$ tende a um valor $a$ é o mesmo valor da imagem da função no ponto $a$. Perceba que eu deixei essa informação bem clara neste artigo, o limite de uma função se preocupa com o que acontece com essa função quando seus valores de $x$ se aproximam de um ponto $a$ em específico ão interessando o que acontece com a função quando $x=a$.

      Caso ainda esteja com dúvidas sobre essa questão fique a vontade para deixar seu comentário aqui no blog para que eu possa lhe esclarecer. Obrigado pelo comentário e participação, um abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  12. Eu entendo todo o algebrismo que envolve a razão incremental da derivada mas quero entender o porquê se imaginar num incremento algébrico de delta y e no denominador delta x tender a zero. Na minha cabeça se houver incremento de delta y tem que haver um incremento de delta x . Caso contrário a função fica parada. Para mim essa razão incremental distorce a função, é artificial porque imagina que y está variando enquanto x permanece parado. Se uma função de custo de produção é y=x^2 para produzir 1 peça gasto 1, para produzir duas gasto 4, como o custo marginal pode ser diferente de 4? Se você me ajudar eu te agradeço. Abs.

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    1. Realmente Joaquim, fica um pouco complicado entender o limite nesses casos. É como você falou, existem casos em que esse conceito é quase superficial, no exemplo que você citou por exemplo, quase que não influi em nada saber o que ocorre com o que acontece nas margens de um determinado valor "x" já que os valores não correspondem ao valor real.

      O importante é ressaltar, que mesmo assim, esse conteúdo é importante sim e pode ajudar bastante em outras situações, não tão imediatas como possa parecer, mas ajuda.

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  13. Romirys, desculpe a ignorância do assunto.

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    Respostas
    1. Joaquim, quanto ao incremento de delta y e delta x, poderia me explicar melhor sua dúvida? Confesso que não entendi muito bem o que quis dizer...

      P.S. Desculpe a demora em responder suas mensagens, essas semanas passei por alguns contratempos pessoais e mantive o blog um pouco de lado por conta disso...

      Att. Romirys Cavalcante

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  14. obrigado por essa primeira aula, vou pra próxima !

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    1. Olá Fernando!

      É bom saber que está gostando das aulas do nosso curso de cálculo! Continue estudando com o blog Vivendo entre Símbolos.

      Att. Romirys Cavalcante

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  15. Material muito bom, tirei várias dúvidas. Parabéns pelo trabalho e continuem assim.

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    1. Olá Breno Almeida!

      Obrigado pelos elogios, isso sem dúvidas me motiva bastante a continuar com esse projeto na internet. Bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  16. Bom material, rapaz. Alguma previsão de quando será lançado teorema do confronto?

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    1. Olá!

      Em breve, pode ter certeza. Fique no aguardo e obrigado pelos elogios quanto aos artigos!

      Att. Romirys Cavalcante

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  17. Oi amigo, olha eu fiz minha primeira prova de cálculo, posso dizer que entendi muito bem a matéria, sempre tiro dúvidas com o professor, estudei muito e fiz todas as listas que ele disse que iriam cair, mas ainda assim, tirei míseros 4,2/10,0. Não sei o que fazer, pois posso afirmar que entendo o que o professor fala, estudo em casa, faço exercícios, mas não fui correspondido nessa primeira prova. A próxima será daqui há pouco mais de 1 mês, existe algo que eu possa fazer para melhorar meu rendimento?

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    Respostas
    1. Olá !

      Você já descobriu os erros que cometeu em sua prova? Esse, sem dúvidas, é o primeiro lugar para começar. Se você tiver dúvidas com o básico e inicial dessa disciplina, com certeza, terá dificuldades nas próximas provas. Logo, faz-se necessário que você revise e estude tudo o que foi passado nessa primeira prova. Em seguida faça uma "mapeamento" dos possíveis conceitos que você sentirá dúvidas na próxima prova e "bombardei-e" seu professor com perguntas, das mais diversas, pois quanto mais você souber sobre esses conceitos, melhor se sairá nas próximas provas.

      Busque cercar-se de bons livros, como já citei, e já mais fique preso a somente um livro, ele pode lhe dar a falsa impressão de que você está aprendendo tudo, quando na verdade, você está pulando muitas informações que foram omitidas por um autor, mas que podem ter sido apresentadas por outros autores em outros livros.

      Espero que essas dicas ajudem. Logo estarei criando outro artigo com mais dicas para lhe ajudar e aos demais com essa disciplina. Fique acompanhando as novidades do blog.

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Ok!! Muito obrigado pelas dicas amigo! Vou dar o meu melhor!

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    3. Olá !

      É assim que se fala. Tenha foco e força de vontade e tenho certeza de que conseguirá vencer essa disciplina.

      Att. Romirys Cavalcante

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  18. Primeiramente Parabéns pelo seu material e obrigado por disponibilizá-lo para todos gratuitamente.
    Alem de parabenizar e agradecer eu gostaria de sugerir a você que colocasse no final das aula links que levassem para a próxima aula, e para as aulas anteriores.
    PS: Somente um sugestão para melhorar a utilização e mobilidade no site por parte dos usuários.

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    Respostas
    1. Olá Gustavo!

      Obrigado pela dica irei fazer isso agora mesmo. Alguns leitores já haviam me pedido isso mas eu estava um pouco sem tempo para o site, mas agora que estou um pouco livre irei adicionar os botões e em seguida dar continuidade com mais algumas aulas do curso que prometem ajudar muito nessa disciplina.

      Att. Romirys Cavalcante

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  19. rapaz se tivesse visto seu site antes não teria ficado tão apavorado ao ver calculo na minha ementa.

    obrigado

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    Respostas
    1. Olá Fellipe Moraes !

      Aproveite esse momento para divulgar esse site para seus amigos para que eles não passem pelo que você mencionou. Espero poder contribuir bastante com seu aprendizado e tirar muitas de suas dúvidas ao longo desse humilde curso de cálculo. Obrigado pelo elogio isso, sem dúvidas, é oque me motiva a continuar com esse projeto, mesmo com tão pouco tempo disponível para tocá-lo em frente. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  20. Olá Romirys!

    Venho por meio deste comentário tentar expressar minha profunda admiração pelo trabalho aqui feito por ti sem nenhum tipo de fins lucrativos, e notavelmente feito com muito gosto, atenção e interesse em ajudar. Atitudes como essa são raras no mundo em que vivemos, ainda mais se tratando de um profissional e também estudante que não possui ao seu dispor tempo suficiente para se dedicar totalmente a este projeto.
    Pode ter certeza que seu objetivo de ministrar aulas de fácil entendimento está sendo muito bem cumprido. Sou estudante do curso de Engenharia de Produção e mero iniciante desse mundo fascinante que são as ciências exatas, tendo assim, uma série de dificuldades comum a todos que começaram essa vida, e suas aulas tem sido determinantes na compreensão de alguns aspectos, por isso deixo meu grande agradecimento pela sua iniciativa e desejo muito sucesso em todos teus objetivos.

    Um abraço!!


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    Respostas
    1. Olá Ernaldo de Sá !

      Você deve ter percebido que estou demorando bastante para lançar as próximas aulas desse projeto. Isso está acontecendo por conta do pouco tempo que tenho e também por que quero criar aulas em que qualquer pessoa possa compreender o conteúdo sem muitas dificuldades. É muito gratificante receber comentários como estes aqui no blog, comentários esses que valem mais do que qualquer dinheiro no mundo. Sinto que nasci para ensinar e faço isso por prazer, como você mencionou, me esforçando ao máximo para que meus artigos saiam do jeito que eu imagino os conteúdos em minha mente. Infelizmente só posso escrever sobre eles o que é muito limitado visto que em uma aula presencial consigo render bem mais, porém sinto que estou conseguindo trazer a tona um pouco da minha didática para dentro de meus singelos artigos e ajudando muitas pessoas com suas dúvidas. Mais uma vez agradeço por todos os elogios e desejo-lhe bons resultados em seu curso de engenharia, bons estudos e muitas realizações em sua vida. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  21. Muito boa sua iniciativa parabéns pela contribuição o seu relato de como é frustante para o aluno que tem muita dificuldade é uma realidade e sei de muitos que desistiram por isso.

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    Respostas
    1. Olá Rodrigo Falcão!

      É por esse motivo que decide criar e disponibilizar gratuitamente este curso de cálculo, para poder ajudar as pessoas que tem dificuldade com essa disciplina na faculdade e para que possam ver ela com menos receio ou menos "medo", pois como eu disse em um dos meus artigos a algum tempo, ela é apenas mais uma disciplina e pode ser aprendida com um pouquinho de dedicação e uma forcinha de terceiros. Obrigado pelo elogio e por comentar em meu humilde site. Um grande abraço bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  22. Olá,muito boa explicação gostei demais espero que a próxima aula seja tao boa quanto essa.

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    Respostas
    1. Olá Joao Lima E Silva!

      Pode ter certeza de que todas as aulas estão sendo criadas com a maior dedicação possível para que sejam tão boas quanto possam ser. Agradeço pelo elogio e fico feliz pode estar contribuindo com seu aprendizado. Um grande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  23. Muito boa a explicação! Espero que continue postando artigos novos no blog . Me ajudou muito, obrigada!

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    Respostas
    1. Olá Karina!

      Obrigado pelo elogio em relação a este artigo. Fico feliz em saber que estou contribuindo com o seu aprendizado. Tinha dado uma parada nas publicações por conta do tempo, mas espero voltar com tudo esse ano e com vários ótimos artigos que tenho em mente e já venho planejando há um bom tempo. Um abraço, bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  24. Muito bom, professor! Explica de uma forma bem sucinta.

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    Respostas
    1. Olá Thales Caetano!

      Obrigado pelo elogio. Fico feliz em saber que estou contribuindo com o seu aprendizado.

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Olá! Que bom! Gostei da aula. Isso mesmo. Deu para entender de uma maneira simples e objetiva. O professor está de parabéns, continue passando mensagem que todos compreenda a linguagem da matemática... Sebastião Caetano

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    3. Olá Sebastião Caetano!

      Obrigado pelos elogios com relação a minha explicação. É um prazer poder contribuir com o seu aprendizado. Um grande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  25. Olá professor, estou tendo CDI 1,2 e 3 em apenas um semestre e olha está difícil mas espero que com suas aulas eu consiga ir bem. Obrigada pela iniciativa e espero que sempre poste novos artigos no blog.

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    Respostas
    1. Olá!

      Fico feliz em estar ajudando com seus estudos. Espero que consiga aprender bastante e tirar de letra todas essas cadeiras de cálculo. Um abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  26. Muito bom! Seria interessante vídeo-aulas, ajudaria bastante!! Parabéns

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    Respostas
    1. Olá Thainara Velames!

      Obrigado pelo elogio. Em breve o site contará com vídeo-aulas sobre o conteúdo de cálculo diferencial e integral. Um grande abraço, bons estudos e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante.

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  27. LINGUAGEM CLARA E OBJETIVA !!! PARABÉNS PELO TRABALHO E SUCESSO !!!

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    Respostas
    1. Olá Fernando Carlos!

      Obrigado pelos elogios com relação ao conteúdo do curso de cálculo desta aula. Um grande abraço, bons estudos e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

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  28. gostei,
    iniciarei os estudos de limite por aqui. Linguagem de fácil compreensão, mas não me despertou duvida, meu foco ainda não é limite quando chegar nelas espero que me ajude :) obrigado por disponibilizar

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    1. Olá Erik Salomão!

      Fico feliz em saber que gostou de minha explicação sobre o assunto. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  29. Caro Professor, parabéns pelo maravilhos trabalho. O Sr. poderia me indicar livros para que eu reforçe meus conhecimentos sobre funções e fatoração de polinômios por favor. Sou fraco nessas matérias. Obrigado e um abrço

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    1. Olá Nomad!

      Você poderia utilizar o Matemática Elementar volume 1 que fala exatamente sobre funções, embora ele tenha uma linguagem um pouco complicada é um dos livros mais completos sobre funções que eu já estudei.

      Att. Romirys Cavalcante

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  30. Obrigado pelo seu post, me ajudou e muito a compreender o conceito de limites.

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    1. Olá Crisciany Souza!

      É um prazer poder contribuir com seu aprendizado no assunto de limites. Um grande abraço bons estudos e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

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  31. Respostas
    1. Olá!

      Obrigado pelo elogio quanto a aula.

      Att. Romirys Cavalcante

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