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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

O que é porcentagem?

A porcentagem é um assunto que está bastante presente em nosso dia a dia em situações, principalmente, financeiras. Quando efetuamos a compra de uma roupa e recebemos um desconto por pagá-la a vista, estamos presenciando um caso onde a porcentagem se faz presente. Hoje você vai aprender a trabalhar com a porcentagem em várias situações problemas e vai perceber como é fácil calcular porcentagens em matemática.


A porcentagem ou percentagem, basicamente, é uma fração onde o denominador é igual a $100$. No entanto, podemos dizer que a porcentagem também pode ser considerada como uma observação feita das situações em nosso cotidiano, seja de acréscimo ou de diminuição, sempre tomando como base o valor $100$ em específico.

Mais adiante você irá compreender melhor esse segundo conceito. Vale ressaltar que aqui não é minha intenção demonstrar ou provar propriedades acerca do tema porcentagem nem o de simplesmente resolver exercícios, mas o de, principalmente, mostrar os conceitos mais básicos que caracterizam uma porcentagem e como eles devem ser interpretados em cada situação problema.

Representação da porcentagem

Você já sabe que uma porcentagem nada mais é do que uma fração cujo denominador é igual a $100$. Para representar uma porcentagem utilizamos o símbolo " % " (lê-se: por cento). Veja abaixo como ficaria algumas frações representadas em forma de porcentagem:
$$ \frac { 3 }{ 100 } =3 \% $$
$$ \frac { 57 }{ 100 } =57 \% $$
$$ \frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3\cdot 20 }{ 5\cdot 20 } =\frac { 60 }{ 100 } =60 \% $$
Nota: Observe que nem sempre teremos o caso em que o denominador da fração é igual a $100$ (exemplo $3$), portanto, faz-se necessário que utilizemos algum artifício matemático para transformar o denominador no valor $100$, porém sem alterar o resultado da nossa fração e para isso utilizamos o conceito de frações equivalentes.

Frações equivalentes

Duas frações são ditas equivalentes quando representam a mesma parte de um todo ou, em outras palavras, quando simplificadas apresentam a mesma fração irredutível, ou ainda quando o produto do meios for igual ao produto dos extremos dessas frações.

Exemplo: $$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$
A fração $ \frac { 3 }{ 4 }$ já está em sua forma irredutível, pois não pode ser mais simplifica. Já a fração $ \frac { 12 }{ 16 }$ pode ser simplificada por $4$. Logo temos:
$$ \frac { 12:4 }{ 16:4 } =\frac { 3 }{ 4 } $$
Como o resultado é igual a primeira fração dizemos então que essas duas frações são equivalentes.

Para mostrar essa afirmação podemos utilizar a terceira definição multiplicando os meios pelos extremos dessas duas frações, observe:
$$ \frac { 3 }{ 4 } \quad e\quad \frac { 12 }{ 16 } $$
$$ 3\cdot 16\quad ?\quad 4\cdot 12 $$
$$ 48\quad =\quad 48 $$
Como o produto foi igual em ambos os membros podemos afirmar novamente que essas duas frações são equivalentes.

Para encontrarmos frações equivalentes basta multiplicarmos uma fração por um número constante pertencente aos reais tanto no numerador como no denominador dessa fração. Vamos encontrar por exemplo $3$ frações equivalentes a fração $ \frac {2} {3} $. Para isso podemos multiplicá-la pelos números $2$, $3$, e $4$, veja:
$$ \frac { 2\cdot (2) }{ 3\cdot (2) } =\frac { 4 }{ 6 } $$
$$ \frac { 2\cdot (3) }{ 3\cdot (3) } =\frac { 6 }{ 9 } $$
$$ \frac { 2\cdot (4) }{ 3\cdot (4) } =\frac { 8 }{ 12 } $$
Logo, as frações $\frac { 4 }{ 6 }$, $\frac { 6 }{ 9 }$ e $\frac { 8 }{ 12 }$ são frações equivalentes a fração $\frac { 2 }{ 3 }$.

Transformando fração em porcentagem

Agora que você conhece o conceito de fração equivalente vamos aprender a transformar frações em porcentagem seguindo essa linha de raciocínio (sempre que possível).

Para transformar uma fração em porcentagem sabemos que o denominador dessa fração precisa ser igual a $100$ para substituirmos ele pelo símbolo da porcentagem " $\%$ ". Logo, quando o denominador não for igual a $100$, precisamos encontrar um fator pertencente aos reais que multiplicado por esse denominador resulte no valor $100$. Veja alguns exemplos abaixo:
$$ \frac { 2 }{ 5 } =\frac { 2\cdot (20) }{ 5\cdot (20) } =\frac { 40 }{ 100 } =40 \% $$
$$ \frac { 7 }{ 25 } =\frac { 7\cdot (4) }{ 25\cdot (4) } =\frac { 28 }{ 100 } =28 \% $$
Observe que os exemplos acima são bem fáceis de se encontrar um valor que multiplicado pelo denominador resultem no valor $100$, porém nem sempre nos deparamos com situações fáceis como essa, por isso vamos aprender outro método para transformar frações em porcentagem, confira o exemplo a seguir:
$$ \frac { 1 }{ 8 } =0,125=0,125\cdot 100 \% =12,5 \% $$
Nota: Multiplicar um número por $100 \%$ é o mesmo que multiplicar esse número por 1, pois $100 \%$ é igual a $ \frac { 100 }{ 100 } = 1 $, logo isso não modificará em nada o valor do número que estamos multiplicando por $100 \%$. 
No exemplo anterior dividimos o numerador pelo denominador e depois multiplicamos por $100 \%$, como queríamos que a porcentagem aparecesse multiplicamos o resultado por "100" e permanecemos com o símbolo da porcentagem ao lado. Observe abaixo mais exemplos com esse método:
$$ \frac { 3 }{ 5 } =0,6=0,6\cdot 100 \%=60 \% $$
$$ \frac { 9 }{ 12 } =0,75=0,75\cdot 100 \%=75 \% $$
$$ \frac { 1 }{ 4 } =0,25=0,25\cdot 100 \%=25 \% $$
$$ \frac { 2 }{ 3 } =0,666...\cong 0,6667\cdot 100 \%=66,67 \% $$

Cálculo da porcentagem de um valor

Agora vamos aprender a calcular porcentagens de determinados valores. Para calcular uma certa porcentagem de um valor é necessário simplesmente multiplicar essa porcentagem por esse valor, por exemplo queremos saber quanto vale $20 \%$ de $100$, para isso basta multiplicarmos:
$$ 20 \%\cdot 100=\left( \frac { 20 }{ 100 }  \right) \cdot 100=\frac { 2000 }{ 100 } =20 $$
Ou seja, $20 \%$ de $100$ é igual a $20$. Podemos resolver esse tipo de situação usando o conceito de porcentagem, que diz que estamos trabalhando com a retirada de um valor fixo a cada $100$ unidades de um valor solicitado, logo, se queremos $20 \%$ de $100$ isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos retirar $20$ e como tínhamos apenas $100$ unidades nosso resultado final foi o próprio $20$.

Vamos imaginar agora uma situação em que temos que encontrar $20 \%$ de $300$, mas para isso vamos utilizar o conceito de porcentagem para resolvê-la, veja como é simples.

Se queremos $20 \%$ de $300$, isso quer dizer que a cada $100$ unidades devemos pegar $20$ para gente, logo como temos $300$ unidades então pegaremos $20$ da primeira centena, mais $20$ da segunda centena e mais $20$ da terceira centena totalizando $60$ unidades. Portanto $20 \%$ de $300$ nada mais é do que $60$.

Vamos comprovar isso agora com o cálculo:
$$ 20 \%\cdot 300=\left( \frac { 20 }{ 100 }  \right) \cdot 300=\frac { 6000 }{ 100 } =60$$
Perceba que trabalhar com porcentagem não é complicado quando se entende o conceito de porcentagem. Em alguns casos podemos resolver porcentagens até mesmo de cabeça bem rápido. Vamos resolver alguns exemplos onde podemos fazer isso, veja.

Exemplo 1: Calcular $40 \%$ de $500$.

Resolução: Observe que devemos apenas pegar $40$ unidades a cada $100$ unidades dos $500$. Como sabemos que o $100$ "cabe" $5$ vezes dentro de $500$ então basta multiplicarmos o $40$ por $5$ e pronto, encontramos nossa resposta, ou seja:
$$ 40 \%\quad de\quad 500=40+40+40+40+40=200 $$
Veja a explicação para isso na imagem abaixo:


Exemplo 2: Calcular $30 \%$ de $300$.
Resolução: Para isso devemos pegar $30$ unidades para cada $100$ unidades do valor solicitado, como o valor é $300$ vamos conseguir pegar $3$ vezes o valor de $30$ unidades o que resulta em $90$ unidades logo, $30 \%$ de $300$ é igual a $90$. 

Vale ressaltar aqui, mais uma vez, que nem sempre teremos valores fechados como esses dos exemplos acima. Quando isso acontece fica um pouco mais complicado utilizar essa regrinha de resolver a porcentagem pelo conceito, logo, devemos utilizar o método que eu ensinei anteriormente que resume-se a multiplicar a porcentagem pelo valor solicitado. 

Para fundamentar esse método veja mais exemplos abaixo:
$$ 60 \%\quad de\quad 120=60 \%\cdot 120=\left( \frac { 60 }{ 100 }  \right) \cdot 120=\frac { 7200 }{ 100 } =72 $$
$$ 12 \%\quad de\quad 96=12 \%\cdot 96=\left( \frac { 12 }{ 100 }  \right) \cdot 96=\frac { 1152 }{ 100 } =11,52 $$
$$ 23 \%\quad de\quad 238=23 \%\cdot 238=\left( \frac { 23 }{ 100 }  \right) \cdot 238=\frac { 5474 }{ 100 } =54,74 $$
Como você pode perceber o conteúdo de porcentagem não é complicado quando se entende o conceito de porcentagem e se aprende a trabalhar com ele. Nas próximas publicações sobre porcentagem irei ensinar como calcular descontos e reajustes. Nessas próximas publicações vamos ver onde a porcentagem se aplica em situações do nosso dia a dia e como é importante conhecer esse conteúdo para evitar possíveis enganos na hora de fazer compras, por exemplo.

O que você gostaria que eu focasse sobre porcentagem nos próximos artigos dessa série? Será que este artigo está faltando informações? O que você achou dessa aula sobre porcentagens? Que tal deixar sua opinião nos comentários abaixo? Com sua ajuda e participação pretendo tornar esse ambiente mais completo e organizado para que mais pessoas possam aprender com mais facilidade essa ciência tão magnífica que é a Matemática.

Obrigado pela leitura, um abraço e até a próxima!
O que é porcentagem? Reviewed by Romirys Cavalcante on 22.2.15 Rating: 5

4 comentários:

  1. Olá Ramirys:

    Muito bem explicado o conteúdo do post, principalmente para um leitor leigo em porcentagem. Uma verdadeira aula de didática. Quando você diz:"Quando efetuamos a compra de uma roupa e recebemos um desconto por pagá-la a vista, estamos presenciando um caso onde a porcentagem se faz presente." Só que há diferença entre desconto e abatimento. Até hoje ainda não li um livro de matemática comercial ou financeira que me desse essa diferença. Vamos vê-la: Só é considerado desconto, quando na operação está incluído o fator tempo. Por exemplo. Uma duplicada no valor de R$500,00 vai ser descontada, no conceito de desconto simples comercial, à taxa de 2% a.m. 2 meses antes do vencimento,pergunta-se: qual o valor do desconto? Resolução: Desconto comercial (DC) = Nit, ou seja, DC = 500x0,02x2 = R$20,00. Já no abatimento o fator tempo não está incluído.

    Abraços

    Prof. Sebá

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    Respostas
    1. Olá prof. Sebá!

      Interessante a sua observação! Eu, particularmente, não sabia dessa diferença, mas agora fiquei curioso para saber mais e pesquisar sobre o caso. Obrigado pelo ótimo comentário e pelo elogio ao artigo, isso sem dúvidas me ajuda muito. Um abraço e até breve!

      P.S. Seu comentário ficou um pouco esquisito pelo fato do campo de comentários interpretar equações em LaTeX que são indexadas por meio da tag do cifrão \$, como você inseriu uma por conta do dinheiro e não fechou logo em seguida o script interpretou como se tudo o que você escreve fosse uma equação, por isso o fato da letra ter mudado e delas terem ficado todas juntas, pois esse script só funciona direito com as equações, caso necessite digitar texto dentro dessa linguagem é necessário um código LaTeX em específico. O importante é que deu para entender sua mensagem.

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Excelente! Nunca gostei de matemática, mas depois de aprender com sua aula já estou interessada em aprender mais. Obrigada.

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    Respostas
    1. Olá!

      Esse tipo de comentário me deixa imensamente feliz, pois gosto de saber que meu site está contribuindo para mudar um pouco a visão que as pessoas tem da matemática, que é o meu maior sonho com esse projeto. Muito obrigado por deixar seu comentário. Um grande abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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