Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função

Estou dando início a aula 5 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos estudar sobre as propriedades operatórias dos limites, conteúdo de grande importância quando estamos trabalhando com limites. Já pensou ter que resolver limites pela definição toda vez? Seria muito complicado e chato não é mesmo? Com o conteúdo de hoje você vai aprender caminhos e métodos mais fáceis para encontrá-los.

Propriedades Básicas dos Limites

Abaixo você vai conhecer os dois limites mais básicos de se aprender quando estudamos as propriedades de limites. 

Seja $f(x)=x$ e $k$ uma constante, temos:

Propriedade 1: O limite de uma função $f(x)=x$ será equivalente ao valor que o "$x$" se aproxima, no caso abaixo, o limite da função $f(x)$ será "$p$", pois este é valor em que "$x$" está se aproximando.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow p }{ x=p }  } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x=3 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ x=5 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow \pi  }{ x=\pi  } $$
Propriedade 2: O limite de uma constante é a própria constante.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ k=k } $$ 

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 9=9 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \pi =\pi  } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ 12=12 } $$

Principais Propriedades dos Limites

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)=M }$ e $ n\in { N }^{ \ast  } $, então:

Propriedade 3: O limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções. 

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)+g(x) \right] =L+M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)+\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:

$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }+4 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }+\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4=1+4=5 }  }  $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( 3x+7 \right) =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ { 3x }+\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=15+7=22 }  }  } $$

Propriedade 4: O limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)-g(x) \right] =L-M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)-\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { x }-7 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 5 }{ { x }-\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=5-7=-2 }  }  $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x-1 \right) =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { 4x }-\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 1=8-1=7 }  }  }  $$

Propriedade 5: O limite de uma constante por uma função é equivalente ao produto da constante pelo limite da função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ k\cdot f(x) \right] =k\cdot L=k\cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left[ 3\cdot \left( { 4x }+7 \right)  \right] = } 3\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { 4x }+7 \right)  }  \right] =3\cdot \left[ 4\cdot 5+7 \right] =3\cdot 27=81$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ 2\cdot \left( { x }+1 \right)  \right] = } 2\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+1 \right)  }  \right] =2\cdot \left[ 1+1 \right] =2\cdot 2=4 $$

Propriedade 6: O limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções. 

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =L\cdot M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( 2x \right) \cdot \left( x+4 \right)  \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x }  \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+4 \right)  }  \right] =4\cdot 6=24$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( { x }^{ 3 } \right) \cdot \left( x-1 \right)  \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { x }^{ 3 } }  \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x-1 \right)  }  \right] =8\cdot 1=8 $$

Propriedade 7: O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero, no caso abaixo, a propriedade é válida se $ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)\neq 0 } $.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ \frac { f(x) }{ g(x) }  \right] =\frac { L }{ M } =\frac { \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }{ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( 4x \right)  }{ \left( x+2 \right)  }  \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x }  \right]  }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right)  }  \right]  } =\frac { 8 }{ 4 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { \left( 8x \right)  }{ \left( 3x-3 \right)  }  \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 8x }  \right]  }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-3 \right)  }  \right]  } =\frac { 24 }{ 6 } =4 $$

Propriedade 8: O limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left[ f(x) \right]  }^{ n }={ { \left( L \right)  }^{ n }=\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right]  }^{ n } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left[ x+2 \right]  }^{ 3 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left( x+2 \right)  } }  \right]  }^{ 3 }={ \left( 4 \right)  }^{ 3 }=64$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left[ 3x-1 \right]  }^{ 2 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left( 3x-1 \right)  } }  \right]  }^{ 2 }={ \left( 11 \right)  }^{ 2 }=121$$

Outras Propriedades Importantes de Limites

As propriedades abaixo são pouco conhecidas, mas são de grande importância em alguns casos para resolução de limites, por isso é importante conhecer e aprender cada uma delas.

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $ n\in { N }^{ \ast  } $, então:

Propriedade 9: O limite da raiz enésima de uma função é equivalente a raiz enésima do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } =\sqrt [ n ]{ L } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4x } = } \sqrt [ 3 ]{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (4x) }  } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \sqrt { 3x+4 } = } \sqrt { \lim _{ x\rightarrow 4 }{ (3x+4) }  } =\sqrt { 16 } =4 $$

Propriedade 10: O limite do logaritmo natural de uma função é equivalente ao logaritmo natural do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \ln { f(x) } =\ln { (L) } =\ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right]  }  } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \ln { \left( x+2 \right)  }  \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) }  \right]  } =\ln { 4 } \cong 1,39$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left[ \ln { \left( 3x-2 \right)  }  \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left( 3x-2 \right) }  \right]  } =\ln { 10 } \cong 2,3 $$

Propriedade 11: O limite de "$e$" elevado a uma função é equivalente a "$e$" elevado ao limite dessa função. 

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left( e \right)  }^{ f(x) }={ \left( e \right)  }^{ L }={ \left( e \right)  }^{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { e }^{ \left( x+1 \right)  }= } { \left( e \right)  }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x+1 }  \right]  }={ \left( e \right)  }^{ 3 }\cong 20,08$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { e }^{ \left( 4x \right)  }= } { \left( e \right)  }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4x }  \right]  }={ \left( e \right)  }^{ 4 }\cong 54,6 $$

Propriedade 12: O limite do seno de uma função é equivalente ao seno do limite dessa função.

$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ sen\left[ f(x) \right]  } =sen\left[ L \right] =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right] $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ sen\left[ 3x+1 \right]  } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 3x+1 \right)  }  \right] =sen(4) $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ sen\left[ { x }^{ 2 }+4 \right]  } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right)  }  \right] =sen(8) $$

Espero que tenha gostado desta aula. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima aula. Não se esqueça de por em prática todas essas propriedades com vários exercícios, pois só assim você vai conseguir fixar esse conteúdo em sua cabeça.

Aula Anterior Próxima Aula