Juros Compostos: Olhar Matemático x Olhar Financeiro

Quando se faz uma aplicação, em capitalização composta, o aplicador talvez esteja interessado em saber apenas quanto terá em sua conta no futuro, ou seja, qual será o montante do seu dinheiro. Para isso usa-se o raciocínio matemático. 

Se além de seu interesse em saber quanto terá em sua conta no futuro, o aplicador tem também interesse em saber quanto dos seus juros totais são juros simples e quantos são juros compostos, usa-se o raciocínio financeiro. 

Este artigo é um trabalho feito pelo professor Sebá sobre o conteúdo de Juros Compostos analisado sobre dois pontos de vista distintos, o matemático e o financeiro, com base em situações problemas para tornar sua explicação mais agradável e simples de ser compreendida. Desejo a você uma ótima leitura.

Juros compostos do ponto de vista matemático

Suponha que uma pessoa aplique, no regime de capitalização composta, $R\$10.000,00$ à taxa de $10\%$ a.m. (ao mês). Quais seriam os valores dos juros compostos do $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses gerados por essa aplicação? A seguir apresento a resolução para este problema.

DADOS: 
\begin{matrix}
C & = & R\$10.000,00 \\
i & = & 10\% \quad a.m\\
t & = & 3 \\
M & = & montante? \\
\end{matrix}
Lembre-se que:
\begin{matrix}
i & = & 10\% \quad a.m \\
i & = & \frac{10}{100}  \quad a.m\\
i & = & 0,1 \quad a.m. \\
\end{matrix}
Com isso podemos montar uma tabela para mostrar o valor do montante no fim de cada mês:

Pode-se observar, na tabela acima, que o juros do primeiro período foi incorporado ao capital inicial constituindo um montante de $ \displaystyle R\$11.000,00$. Já no segundo período temos um montante de $ \displaystyle R\$11.000,00 $ rendendo juros de $ \displaystyle R\$10.000,00 \text{(capital inicial)} + R\$1.000,00 \text{(juros do primeiro período)}$, ou seja, não somente os $ R\$10.000,00 $ estão rendendo juros, mas também os $ \displaystyle R\$1.000,00 $.

No raciocínio matemático não houve realmente juros sobre juros, mas sim, juros sobre o montante de $ \displaystyle R\$11.000,00 $, ou seja, $ \displaystyle \text{capital} (R\$10.000,00) + \text{juros} (R\$1.000,00) $. 

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, como:

Lembrando que para o tempo "$t$" temos a fórmula $ \displaystyle M = C(1 + i)^{t} $, então:

DADOS:
\begin{matrix}
C & = & R\$10.000,00 \\
i & = & 10\% \quad a.m\\
t & = & 3 \\
M & = & montante? \\
\end{matrix}
E lembrando ainda que:
\begin{matrix}
i & = & 10\% \quad a.m \\
i & = & \frac{10}{100}  \quad a.m\\
i & = & 0,1 \quad a.m. \\
\end{matrix}

Temos a seguinte solução:

\begin{matrix}
M & = & C(1+i)^{t} \\
M & = & 10000(1+0,1)^{3} \\
M & = & R\$13.310,00 \\
\end{matrix}

Como os juros são dados por $\displaystyle J=M – C$, logo, os juros produzidos foram:
\begin{matrix}
J & = & M - C \\
J & = & R\$13.310,00 \ – R\$10.000,00 \\
J & = & R\$3.310,00 \\
\end{matrix}
Aviso do autor Romirys Cavalcante
Se você quiser conhecer mais sobre o significado de alguns termos financeiros como juros, montante, capital, tempo, entre outros, que estão sendo apresentados neste artigo, recomendo a leitura do artigo "Introdução a Matemática Financeira" disponível no link abaixo. Nesse artigo você aprenderá sobre todos os termos mais utilizados no mundo financeiro de maneira bem simples por meio de vários exemplos práticos.

Introdução à Matemática Financeira

Juros compostos do ponto de vista financeiro

Para termos uma melhor compreensão da natureza da capitalização composta, podemos desdobrar os $ \displaystyle R\$12.100,00 $, do $ \displaystyle 2^{o} $ mês, em $ \displaystyle 3 $ componentes: 

1) $ \displaystyle  R\$10.000,00 $ que é o principal; 

2) juros sobre os $ \displaystyle R\$10.000,00 $ sendo $R\$1.000,00 $ no $ \displaystyle 1^{o} $ mês e outros $ \displaystyle R\$1.000,00 $ no $ \displaystyle 2^{o} $. Os juros sobre o principal são chamados de juros simples ($ \displaystyle R\$2.000,00 $ em nosso exemplo); 

3) existem $ \displaystyle R\$100,00 $ de juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ mês, ou seja, $ \displaystyle  R\$1.000,00 \cdot 0,10 = R\$100,00 $. Os juros obtidos sobre os juros já ganhos (juros sobre juros) são chamados juros compostos.

O total de juros obtidos ($ \displaystyle R\$2.100,00 $) é a soma dos juros simples ($ \displaystyle R\$2.000,00 $) mais os ($ \displaystyle R\$100,00$) obtidos dos juros compostos. É importante ressaltar que os juros simples somados com os juros compostos são chamados de capitalização composta. 

Como o montante no $ \displaystyle 2^{o} $ mês foi de $ \displaystyle R\$12.100,00 $, logo, o montante do $ \displaystyle 3^{o} $ mês será dado por:

\begin{matrix}
M & = & R\$10.000,00 \text{(Principal)} \\
 & + & R\$2.100,00 \text{(Juros)} \\
 & + & R\$10.000 \cdot 0,10 = R\$1.000,00 \text{(Juros simples)} \\
 & + & R\$2.100,00 \cdot 0,10 = R\$210,00 \text{(Juros compostos)} \\
M & = & R\$13.310,00 \\
\end{matrix}
Falando em termos práticos, o aplicador não se interessa em saber quanto de seus juros totais ($ \displaystyle R\$2.210,00 $) são juros simples e quantos são juros compostos. O que interessa ao aplicador é saber quanto terá em sua conta no futuro, ou seja, o valor futuro (montante, valor final) do seu dinheiro. 

Conclusão

Pelo raciocínio matemático, os juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, respectivamente, $ \displaystyle R\$2.100,00 $ e $ \displaystyle R\$3.310,00 $, não são resultantes de juros sobre juros e sim, de juros sobre os montantes dos meses anteriores, $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, portanto, não são juros sobre juros, ou seja, não são juros compostos. 

Por outro lado, pelo raciocínio financeiro, os juros obtidos no $ \displaystyle 2^{o} $ e $ \displaystyle 3^{o} $ meses, respectivamente, $ \displaystyle R\$100,00 $ e $ \displaystyle R\$210,00 $, são resultantes de juros sobre juros, portanto, são juros compostos.

Quem é o professor Sebá?

Este é um artigo criado pelo professor Sebastião Vieira do Nascimento, conhecido por todos como professor Sebá. Ele é graduado em Economia pela UFPB – Universidade Federal da Paraíba e Mestre em Engenharia de Produção também pela UFPB. É professor titular aposentado da UFCG – Universidade Federal de Campina Grande – PB.

Durante os vinte e sete anos que atuou como professor, lecionou as seguintes disciplinas: Matemática Financeira, Engenharia Econômica e Pesquisa Operacional. Atualmente, dedica seu tempo escrevendo livros sobre as áreas em que atuou e sobre Teoria dos Números. Desde sua aposentadoria até hoje, ele já publicou sete livros pela Editora Ciência Moderna.

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Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!