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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Método de completar quadrados: processo prático

Já pensou ser capaz de determinar as raízes de uma equação do segundo sem utilizar a famosa fórmula de Bhaskara? Sim, isso é possível e, por sinal, é bem mais fácil de ser feito do que você pode imaginar. Ficou curioso ou curiosa para saber como esse método funciona? Se a resposta for sim, recomendo que continue lendo o artigo de hoje aqui no Vivendo entre Símbolos. Desejo a você uma ótima leitura.

Você sabia?

Antes de começar a explicar como esse método de completar quadrados funciona gostaria de lhe contar uma curiosidade. Você sabia que a fórmula de Bhaskara não é de Bhaskara? Pode parecer loucura, mas essa é a mais pura verdade. O fato é que, na realidade, a fórmula de Bhaskara foi desenvolvida pelo matemático Al-Khwarizm e na época era conhecida como método de completar quadrados. Ele é conhecido como o avô da informática e pai da álgebra. Não é de se estranhar que o termo álgebra derive do seu nome. Se você quiser conhecer, um pouco mais, sobre a vida e as contribuições de Al-Khwarizm recomendo a leitura dos dois artigos a seguir:

A vida de Al-Khwarizm (InfoEscola) Biografia de Al-Khwarizm (Iqara Islam)

O que Bhaskara fez foi sistematizar esse processo por meio da utilização de letras o que acabou gerando uma fórmula padrão que, mais tarde, ficou conhecida como a fórmula de Bhaskara. Provavelmente ele entendia mais de marketing do que Al-Khwarizm, pois acabou ficando com toda a fama (risos).

O método de completar quadrados

Esse método pode ser compreendido por meio de dois processos. O primeiro é conhecido como processo prático e envolve mais a parte algébrica. Já o segundo é conhecido como processo geométrico onde utilizamos figuras geométricas para sua compreensão.

Neste artigo irei abordar o processo prático desse método apresentando suas principais características, mas você também pode aprender o método de completar quadrados pelo processo geométrico aqui no Vivendo entre Símbolos. 

Entendendo o processo prático desse método

Para explicar como funciona esse método iremos utilizar a seguinte equação do segundo grau:
$$ { 2x }^{ 2 }+16x+14=0 $$ Agora vamos seguir alguns passos para facilitar a compreensão desse método.

1º passo:

Vamos analisar o coeficiente que está multiplicando o termo $x^{2}$ da nossa equação. 
  • Se esse coeficiente for diferente de $1$ dividiremos ambos os lados da equação por ele mesmo;
  • Se esse coeficiente for igual a $1$ não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e podemos prosseguir para passo número $2$.
No nosso exemplo o coeficiente que está multiplicando o termo $x^{2}$ é igual a $2$ então devemos dividir os dois lados da equação por este número, veja:
$$ \frac { { 2x }^{ 2 }+16x+14 }{ 2 } =\frac { 0 }{ 2 } $$Resultando em:
$$ { x }^{ 2 }+8x+7 =0 $$

2º passo:

O segundo passo consiste em adicionar, a ambos os lados da equação, o quadrado da metade do coeficiente que está multiplicando o termo "$x$" da nossa equação. O coeficiente que está multiplicando o termo "$x$" da nossa equação é igual a $8$. 

Lembre-se: Para determinar o quadrado da metade de um número basta que você divida esse número por $2$ e depois eleve seu resultado ao quadrado.

Então para determinarmos o quadrado da metade de $8$ basta dividi-lo por "$2$" e depois elevar o resultado ao quadrado. Vamos realizar as seguintes operações, veja:
$$ \frac { 8 }{ 2 } =4 $$ Depois elevamos esse resultado ao quadrado obtendo:
$$ 4^{2} =16 $$
Acabamos de descobrir que o quadrado da metade de $8$ é igual a $16$, então iremos adicionar este número a ambos os lados da nossa equação de acordo com o que foi solicitado no segundo passo. Veja como nossa equação vai ficar: $$ { x }^{ 2 }+8x+7+16=0+16 $$ A ideia aqui é não somar os valores $7$ e $16$, pois nossa intenção é completar um quadrado no primeiro membro de nossa equação, logo vamos "passar" o $7$ para o segundo membro e deixar os demais termos, que sobraram, no primeiro membro. 
$$ { x }^{ 2 }+8x+7+16=16\\ { x }^{ 2 }+8x+16=16-7\\ { x }^{ 2 }+8x+16=9 $$

3º passo:

Agora é que chegamos na parte mais interessante desse método. Quando adicionamos o quadrado da metade do coeficiente que estava multiplicando o termo "$x$" a ambos os membros da nossa equação transformamos o seu primeiro membro em um trinômio quadrado perfeito

De modo bem simples, um trinômio quadrado perfeito é o resultado do desenvolvimento da seguinte operação: 
$$ { \left( p+q \right)  }^{ 2 }={ p }^{ 2 }+2pq+{ q }^{ 2 } $$ Para saber mais sobre o que é um trinômio e um trinômio quadrado perfeito leia o artigo a seguir:
Trinômio Quadrado Perfeito - Brasil Escola
Perceba que o termo que está no primeiro membro pode ser reescrito da seguinte maneira:
$$ { x }^{ 2 }+8x+16 \leftrightarrow { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 } $$ Que ainda pode ser reescrito como:
$$ { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 }\leftrightarrow { \left( x+4 \right)  }^{ 2 } $$
Substituindo essa nova informação na nossa equação temos que:
$$ { x }^{ 2 }+8x+16=9\\ { x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot 4+{ 4 }^{ 2 }=9\\ { \left( x+4 \right)  }^{ 2 }=9\\ x+4=\pm \sqrt { 9 } \\ x+4=\pm 3 $$ Considerando o valor positivo temos:
$$ x+4=3\\ x=3-4\\ x=-1 $$ Considerando o valor negativo temos:
$$ x+4=-3\\ x=-3-4\\ x=-7 $$ 
Com isso, chegamos a conclusão de que as raízes da equação $ { 2x }^{ 2 }+16x+14=0 $ são $x_{1}= -1$ e $x_{2}= -7$.

Determinamos as raízes da nossa equação sem utilizarmos a famosa fórmula de Bhaskara. Esse método pode ser aplicado a toda equação do 2° grau do tipo: $$ a{ \cdot x }^{ 2 }+b\cdot x+c=0 $$
Com $ a\neq 0 $ e $ b,c\in \Re $ 

Vamos praticar mais um pouco?

Acredito que apenas um exemplo não seja suficiente para tirar todas as dúvidas a respeito desse conteúdo, então irei resolver outro exemplo para você compreender melhor o método da completação de quadrados. 

Na equação a seguir tanto o coeficiente que multiplica o termo $x^{2}$ como o coeficiente que multiplica o termo $x$ são ímpares para enfatizar que esses coeficientes não precisam ser, obrigatoriamente,  pares para dar certo.

Exemplo 2

Vamos utilizar a seguinte equação: $$ 3{ x }^{ 2 }-17x+20=0 $$ Vamos realizar os mesmos passos que foram ensinados no primeiro exemplo.

1º passo:

Como o coeficiente que multiplica o termo $x^{2}$ é diferente de $1$ temos que dividir os dois membros da equação por ele mesmo, ou seja, vamos dividir ambos os membros por $3$.
$$ \frac { { 3x }^{ 2 }-17x+20 }{ 3 } =\frac { 0 }{ 3 } $$
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } =0 $$

2°passo:

Agora devemos adicionar, a ambos os membros dessa equação, o quadrado da metade do coeficiente que questão multiplicando o coeficiente $x$. O coeficiente que está multiplicando o termo $x$ é $ -\frac { 17 }{ 3 } $, logo, a metade desse valor será:
$$ \frac { -\frac { 17 }{ 3 }  }{ 2 } =\frac { -\frac { 17 }{ 3 }  }{ \frac { 2 }{ 1 }  } =\frac { -17 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ 2 } =\frac { -17 }{ 6 } $$
Agora elevamos esse valor ao quadrado:
$$ { \left( \frac { -17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } $$
Agora adicionamos esse valor a ambos os termos de nossa equação, veja:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } =0\\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 20 }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =0+\frac { 289 }{ 36 } \\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } +\frac { 20 }{ 3 } =\frac { 289 }{ 36 } $$
Lembre-se que não devemos somar os valores $ \frac { 289 }{ 36 } $ e $ \frac { 20 }{ 3 } $, pois queremos criar um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro de nossa equação, ou seja, queremos completar seu quadrado. Por isso devemos passar o valor $ \frac { 20 }{ 3 } $ para o segundo membro de nossa equação, não esquecendo de mudar o sinal:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } +\frac { 20 }{ 3 } =\frac { 289 }{ 36 } \\ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } $$

3º passo:

Note agora que o primeiro membro da nossa equação é um trinômio quadrado perfeito que pode ser reescrito da seguinte maneira:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } \leftrightarrow { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 } $$
Que ainda pode ser reescrito como:
$$ { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }\leftrightarrow { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 } $$
Logo substituindo essa informação na nossa equação temos:
$$ { x }^{ 2 }-\frac { 17x }{ 3 } +\frac { 289 }{ 36 } =\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot \frac { 17 }{ 6 } +{ \left( \frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } $$
Agora temos que nos preocupar com o segundo membro da nossa equação, pois temos que subtrair as duas frações. Para isso temos que deixá-las com o mesmo denominador, logo vamos fazer o seguinte, iremos multiplicar a fração $ \frac { 20 }{ 3 } $ por $12$ tanto no numerado como no seu denominador, veja:
$$ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20 }{ 3 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 20\cdot 12 }{ 3\cdot 12 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289 }{ 36 } -\frac { 240 }{ 36 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 289-240 }{ 36 } \\ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 49 }{ 36 } \\  $$
Agora basta "passar" o expoente $2$ do primeiro membro em forma de raiz quadrada para o segundo membro da nossa equação e continuar com a resolução, veja:
$$ { \left( x-\frac { 17 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 49 }{ 36 } \\ x-\frac { 17 }{ 6 } =\pm \sqrt { \frac { 49 }{ 36 }  } \\ x-\frac { 17 }{ 6 } =\pm \frac { 7 }{ 6 } $$
Considerando o valor positivo temos:
$$ x-\frac { 17 }{ 6 } =+\frac { 7 }{ 6 } \\ x=+\frac { 7 }{ 6 } +\frac { 17 }{ 6 } \\ x=+\frac { 24 }{ 6 } \\ x=+4 $$
Considerando o valor negativo temos:
$$ \\ x=-\frac { 7 }{ 6 } +\frac { 17 }{ 6 } \\ x=\frac { -7+17 }{ 6 } \\ x=\frac { +10 }{ 6 } \\ x=+\frac { 5 }{ 3 } $$
Logo, chegamos a conclusão de que as raízes da equação $ 3{ x }^{ 2 }-17x+20=0 $ são iguais a $x_{1}= +4$ e $x_{2}= +\frac { 5 }{ 3 } $

Espero poder ter esclarecido suas dúvidas sobre o assunto de completação de quadrados. É sempre um grande prazer poder contribuir com seu aprendizado. Mas e aí, o que achou desse método tão bacana para resolver equações do segundo grau sem utilizar a fórmula de Bhaskara? Deixe sua opinião nos comentários desse artigo e compartilhe com seus amigos que gostariam de aprender esse conteúdo.

Um grande abraço e até a nossa próxima aula.
Método de completar quadrados: processo prático Reviewed by Romirys Cavalcante on 11.1.18 Rating: 5

2 comentários:

  1. Nunca tinha visto uma explicação tão didática como essa.
    Parabéns, excelente artigo!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Fico muito feliz de poder contribuir com o seu aprendizado nesse conteúdo. O método de completar quadrados pelo processo prático, quando se pega a "prática" fica bem tranquilo de ser aplicado nas equações do 2° grau.

      Um grande abraço e obrigado por comentar.
      Att. Romirys Cavalcante!

      Excluir

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