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Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Hoje irei demonstrar para você como chegar a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de "n" lados. Devemos conhecer as definições de algumas palavras chaves antes de darmos início à matéria propriamente dita. Devemos definir o que é uma linha poligonal, um polígono e por fim o que é um polígono convexo. 

Linha Poligonal

É uma linha formada por um conjunto de retas sucessivas e não-colineares. Recomendo que antes de você continuar lendo esta publicação leia nosso artigo sobre o que é uma linha poligonal para não ter dúvidas a respeito desse conteúdo e fundamentar ainda mais o conteúdo abaixo sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. 

Polígono

É uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. 

Por exemplo:

 

Polígono Convexo

Um polígono convexo é aquele em que se pegarmos dois pontos quaisquer pertencentes ao polígono e traçarmos uma reta entre esses dois pontos, toda essa reta deve pertencer também ao polígono. Veja isso esquematicamente falando:

Observe a figura ao lado e note que pegamos alguns pontos pertencentes a este polígono. Agora imagine uma reta ligando os pontos de A para B, ou de C para A, ou de C para D ou de B para D, tanto faz, em todos esses casos você vai perceber que a reta formada, por quaisquer que sejam os dois pontos escolhidos, sempre se encontrará dentro do próprio polígono. Portanto podemos dizer que esse polígono da figura ao lado é convexo.

Veja o próximo exemplo a seguir:


Note que se pegarmos o ponto A, pertencente ao polígono, e traçarmos uma reta até o ponto B, também pertencente ao polígono, nem toda a reta que foi formada estará contida dentro do próprio polígono portanto, nesse caso, dizemos que esse é um polígono não convexo ou côncavo. 

Demonstração da soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Agora que já sabemos as definições necessárias vamos dar início a matéria sobre soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Primeiramente devemos saber que para todo triângulo a soma de seus ângulos internos vale sempre 180°. Sabendo disso podemos começar a fazer algumas observações nos seguintes exemplos abaixo, veja:


Lembre-se: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180°.

Agora vamos determinar a soma dos ângulos internos desse quadrilátero ao lado a partir do simples conhecimento de que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Observe que podemos dividir esse quadrilátero em dois triângulos, veja na figura seguinte como ficaria:


Veja que esse quadrilátero é formado por dois triângulos. Então se quisermos saber a soma dos ângulos internos dele basta sabermos a soma dos ângulos internos dos dois triângulos que o formam, e como um triângulo possui 180° de soma dos ângulos internos então dois triângulos vão possuir 2 · 180° = 360°, ou seja, a medida dos ângulos internos do quadrilátero vale 360°.

Vamos ao próximo exemplo:


Vamos determinar a soma dos ângulos internos desse pentágono, para isso vamos escolher um de seus vértices e a partir dele iremos traçar retas aos outros vértices que faltam e veremos no final que esse pentágono pode ser dividido em três triângulos, veja:

Para determinar a soma de seus ângulos internos basta multiplicarmos 180° por 3, pois temos 3 triângulos formando esse pentágono, então: 3 · 180° = 540°. Descobrimos que a soma dos ângulos internos de um pentágono vale 540º. 

Vamos ao nosso ultimo exemplo para então formularmos nossa equação para encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo de "n" lados.

Veja o hexágono a seguir:

 
Note que podemos dividir esse hexágono em quatro triângulos com aquele mesmo processo de antes, escolhendo um de seus vértices e a partir dele traçando retas aos vértices que faltam, veja:
 

Agora para saber a soma dos ângulos internos desse hexágono basta multiplicarmos 180º pelo número de triângulos que esse hexágono é formado. Como são 4 triângulos então temos que: 4 · 180° = 720°, ou seja, a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono vale 720°.

Veja que quando fomos determinar a soma dos ângulos internos do quadrilátero conseguimos dividi-lo em 2 triângulos, quando fomos para o pentágono conseguimos dividi-lo em 3 triângulos e quando fomos para o hexágono conseguimos dividi-lo em 4 triângulos.

Você percebeu???
  • O quadrilátero possui 4 lados e é composto por 2 triângulos
  • O pentágono possui 5 lados e é composto por 3 triângulos
  • O hexágono possui 6 lados e é composto por 4 triângulos
Se continuássemos com os exemplos notaríamos também que um polígono de 7 lados é composto por 5 triângulos, um polígono de 8 lados é composto por 6 triângulos. 

Observe que: O número de triângulos que podemos formar em um polígono convexo é sempre o número de lados desse polígono menos duas unidades. 
Essa é a relação que queríamos observar desde o início, pois sabendo disso podemos fazer a seguinte afirmação:
A soma dos ângulos internos de um polígono de "n" lados é igual a 180° vezes o número de lados menos 2, pois é o número de triângulos que formam o polígono. Podemos concluir então que: A soma dos ângulos internos = 180° · (n – 2)
Apenas para deixar mais organizada a equação irei substituir o termo "A soma dos ângulos internos" por Si, resultando na seguinte equação:

Si = 180° · (n – 2)

Essa é a fórmula que utilizamos para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Para fundamentar melhor esse conteúdo irei mostrar um exemplo de como aplicar essa fórmula em uma pergunta sobre polígono convexo e ângulo interno, veja:

Pergunta:

Determine a soma dos ângulos internos de um Heptágono regular.

Resposta:

Primeiro devemos saber que um heptágono regular possui 7 lados. Então já podemos concluir que o número de lados do polígono em questão é 7 ou seja: n = 7. Agora basta substituirmos o valor de "n" na fórmula para calcular a soma dos ângulos internos que acabamos de demosntrar, veja:
Si = 180 · (n - 2)
Si = 180 · (7 - 2)
Si = 180 · (5)
Si = 900º  

Um grande abraço e a até a próxima.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo Reviewed by Romirys Cavalcante on 28.8.12 Rating: 5

33 comentários:

  1. todas as fórmulas iniciais são obtidas pela lógica

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    1. Você tem toda razão !!! E digo mais... Não apenas as fórmulas iniciais e sim todas as fórmulas em geral podem ser obtidas apenas por meio da lógica!!! Obrigado pelo seu comentário, volte sempre!!!

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  2. Jose Nailton Martins de Sousa1 de setembro de 2012 19:54

    Caro, Romirys,
    Eu particularmente não gostei do inicio (trocadilho) quando você particularizou o quadrado, poderia ter generalizado com a definição de quadrilátero regular ou quadrilátero retângulo, visto que o quadrado é uma particularidade, quadrilátero de de quatro lados iguais e paralelos dois a dois e perpendiculares os pares ( a idéia de perpendicularidade lhe ângulos retos.)

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  3. Jose Nailton Martins de Sousa1 de setembro de 2012 20:00

    Corrigindo uma falha na redação no ultimo parêntese : a idéia de perpendicularidade lhe garante ângulos retos)

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  4. Obrigado pelas observações Jose Nailton Martins de Sousa. Creio que especifiquei o nome "quadrado" por realmente se tratar de um quadrado no caso. Ao meu ver não vi motivos para ter que colocá-lo como quadrilátero regular, pois meu intuito aqui é tentar mostrar as coisas sem aquele enfoque muito técnico da matemática para que a compreensão da matéria seja a maior e melhor possível. Desde já agradeço pelos comentários, espero que tenha gostado do meu blog e que tenha compreendido a matéria em questão... Sua opinião é que faz com que o blog "Vivendo entre Símbolos" cresça... Obrigado !!!

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  5. Olá Romyris eu adorei a explicação, aprendi bastante, ótima esplanação, parabéns!

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    1. Obrigado pelo elogio Lúcia. Que bom que você aprendeu... Fico feliz em saber que estou contribuindo com o seu aprendizado... Volte sempre que quiser...

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  6. Queria saber como se calcula a soma das medidas dos ângulos internos de um heptágono convexo

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    1. Um heptágono convexo possui sete lados iguais, ou seja, o valor de n = 7
      Substituindo esse dado na fórmula temos:

      Si = 180 * (n - 2)
      Si = 180 * (7 - 2)
      Si = 180 * 5
      Si = 900º

      Ou seja, a soma dos angulos internos de um Heptágono vale 900º...
      Espero ter ajudado...

      Caso haja mais dúvidas pode colocar aqui nos cometários ou utilizar o chat disponível aqui no blog...

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    2. Um polígono convexo não necessariamente tem a medida de seus lados iguais, este é o polígono regular. Polígono convexo é aquele em que qualquer dois pontos internos que eu escolher e traçar uma reta, ela não irá cruzar com nenhum dos lados, pode seguir por cima, mas não cruzar.

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    3. Correta observação, obrigado por mostrar esse meu pequeno erro na hora de explicar o conteúdo... Obrigado também por comentar... Um grande abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. Como calcular a soma dos angulos externos de um poligono convexo

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    1. A soma dos ângulos "externos" de qualquer polígono convexo, independentemente da quantidade de lados, é igual a 360°.

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  8. Me ajuda ai >> determine ai, ae, Si + Se do dodecagono regular

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    1. Um dodecágono regular possui 12 lados, então:
      ----------------------------------------------
      Angulo Interno: Ai
      Ai = 180*(n-2)/n
      Ai = 180*(12-2)/12
      Ai = 180*10/12
      Ai = 1800/12
      Ai = 150º
      -----------------------------------------------
      Angulo Externo: Ae
      Ae = 360/n
      Ae = 360/12
      Ae = 30º
      -----------------------------------------------
      Soma dos angulos internos: Si
      Si = 180*(n-2)
      Si = 180*(12-2)
      Si = 180*10
      Si = 1800º
      -----------------------------------------------
      Soma dos angulos externos
      A soma dos angulos externos de qualquer polígono regular vale 360º

      Espero ter ajudado com sua dúvida...

      Um abraço e até a próxima !!!

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  9. Foi ótima sua explicação,pude fazer todos os meus exercicios relacionados com o assunto,me ajudou muito.beijoss

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    1. Fico feliz que tenha gostado da matéria e ainda por cima usufruído bem da mesma em seus exercícios... Esse comentário é que me motiva a seguir em frente com este blog e a continuar cada vez mais a ajudar as pessoas...

      Um abraço e até a próxima !!!

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  10. ola boa tarde meu nome é mariana gostaria de saber como resolver a soma das medidas dos ãngolo interno de um heptagno onverte (poligno de 7 lados)

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    1. Veja como é fácil Mariana:
      n = 7

      Sn = 180*(n-2)
      Sn = 180*(7-2)
      Sn = 180*5
      Sn = 900º

      Ou seja a soma dos ângulos internos de um heptágono convexo mede 900º

      Espero ter lhe ajudado com essa dúvida. Precisando tirar mais dúvidas é só perguntar aqui nos comentários...

      Att. Romirys Cavalcante

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  11. Calcule o angulo interno de um hexágono regular convexo e de um eneágono regular convexo.

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    Respostas
    1. Basta aplicar na fórmula dos ângulos internos de um polígono regular convexo.

      ---------------------------------------------------------
      FÓRMULA DO ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR CONVEXO

      Ai = [180*(n-2)]/n
      ---------------------------------------------------------

      Ângulo interno de um hexágono regular convexo: n = 6

      Ai = [180*(n-2)]/n
      Ai = [180*(6-2)]/6
      Ai = [180*4]/6
      Ai = 720/6
      Ai = 120º

      ---------------------------------------------------------

      Ângulo interno de um Eneágono regular convexo: n = 9

      Ai = [180*(n-2)]/n
      Ai = [180*(9-2)]/9
      Ai = [180*(7)]/9
      Ai = [1260]/9
      Ai = 140º

      ---------------------------------------------------------

      Em breve irei fazer uma publicação sobre a medida dos ângulos internos de um polígono regular convexo. Obrigado por comentar, volte sempre e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  12. E de 10 lados ?? me ajudem pf

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    1. Sua pergunta se encontra respondida abaixo...

      Procuramos respondê-la o mais rápido possível...

      Att. Romirys Cavalcante

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  13. OLá meu nome é Luana tenho 14 anos e tou fazendo um trabalho de Matemática e queria saber Quanto vale a soma dos ângulos internos de um poligono de 10 lados me ajudem :( ??

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    1. Veja como é fácil Luana: Como o polígono possui 10 lados logo n = 10,
      aplicando esse valor na fórmula abaixo temos:

      Sn = 180*(n-2)
      Sn = 180*(10-2)
      Sn = 180*8
      Sn = 1440º

      Ou seja a soma dos ângulos internos de um polígono com 10 lados mede 1440º.

      Só a termos de esclarecimentos, um polígono com 10 lados é chamado de Decágono...

      Espero ter lhe ajudado com essa dúvida. Precisando tirar mais dúvidas é só perguntar aqui nos comentários...

      Att. Romirys Cavalcante

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  14. Amei bastante tirei todas as minhas dúvidas!

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    Respostas
    1. Fico feliz em ter ajudado com seu aprendizado... Obrigado por comentar !!!

      Att. Romirys Cavalcante

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  15. Olá,Romirys!
    Vi seu site e aprendi bastante, mas eu acho que não consegui... Como se calcula a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 1800º?? o.O
    Desde já, muito obrigada! (:

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    Respostas
    1. Esse ai já é o resultado. Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo basta que você saiba quantos lados ele tem, por exemplo, se ele tiver 4 lados então $n = 4$, logo:
      $$ { S }_{ n }=180\cdot (n-2)\\ { S }_{ n }=180\cdot (4-2)\\ { S }_{ n }=180\cdot 2\\ { S }_{ n }=360$$
      Espero ter esclarecido sua dúvida, um agrande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  16. Olha, eu quero saber as medidas dos ângulos internos de um polígono não-convexo... Cara, me ajuda!!! :D :|

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Penso que não exista fórmula para tais polígonos. Sinto muito.

      Att. Romirys Cavalcante

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