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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 4 - Unicidade do Limite de uma Função

Estou dando início a aula 4 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral do blog Vivendo entre Símbolos. Nesta aula de hoje, você vai aprender sobre a Unicidade do Limite de uma Função. Mas o que isso quer dizer? Você já ouvir falar nessa tal de unicidade alguma vez? Tem dificuldade para compreender esse teorema? Não se preocupe, você não está sozinho. Com esta aula espero tornar esse teorema bem mais simples de ser entendido e estudado por nossos alunos do curso de Cálculo. Aproveitem!

Teorema

Se o limite de uma função $f(x)$ existe então ele é único. Matematicamente falando temos que:
Se $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=L }$ e $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x)=M }$ então $L=M$.
Para mostrar que isso é verdade iremos utilizar o método da prova por contradição ou redução ao absurdo como é mais conhecido.

Demonstração

Na aula passada quando falei sobre a definição formal de limites aprendemos que $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$ existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $0<\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-L \right| <\varepsilon$.

Supondo, por contradição, $L$ e $M$ positivos e $L\neq M$ e ainda que $ L < M $ ao representar-mos esses dois valores $L$ e $M$ em uma reta real teremos:


Representando esses dois limites pela definição formal temos:

Sendo $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$, logo:
$\forall \varepsilon >0,\quad \exists { \delta  }_{ 1 }>0\quad |\quad 0<\left| x-a \right| <{ \delta  }_{ 1 }\Rightarrow \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $

Sendo $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =M$, logo:
$\forall \varepsilon >0,\quad \exists { \delta  }_{ 2 }>0\quad |\quad 0<\left| x-a \right| <{ \delta  }_{ 2 }\Rightarrow \left| f(x)-M \right| <\varepsilon $

Note que utilizei $\delta_1$ e $\delta_2$, pois estamos trabalhando com, supostamente, dois limites distintos.

Nas representações formais de limites que acabei de mostrar observe que podemos reescrever os termos "$\left| f(x)-L \right| <\varepsilon$" e "$\left| f(x)-M \right| <\varepsilon$" da seguinte maneira, veja 
$$ \left| f(x)-L \right| < \varepsilon = L-\varepsilon < f(x) < L+ \varepsilon $$
$$ \left| f(x)-M \right| < \varepsilon = M-\varepsilon < f(x) < M+ \varepsilon $$

Agora que temos todas essas informações vamos voltar nossa atenção para o nosso amigo "$\delta$". Podemos escolher qualquer "$\delta$" para representar qualquer um desses dois limites, mas o que vamos fazer é encontrar um "$\delta$" que satisfaça ambas as representações, então faz-se sensato escolher o mínimo valor entre os dois citados, ou seja, façamos $\delta= min(\delta_1 ,\delta_2)$, logo quando escolhermos esse "$\delta$" ambas as representações deverão acontecer, ou seja, existir. 

Agora que temos nosso "$\delta$", que satisfaz ambas as representações, precisamos escolher um "$\varepsilon$" de modo que ele garanta que os limites "$L$" e "$M$" sejam realmente diferentes, para isso devemos observar mais atentamente aquela representação na reta real que fizemos no início desse artigo e escolher um valor que garanta a condição $L\neq M$.


Note que é fácil observar que todo valor menor que $\frac { M-L }{ 2 }$ gera limites diferentes porém nada garante que no ponto $P$, ou seja, quando $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ teremos dois limites distintos então faz-se sensato considerar $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ e ver o que acontece.

Lembre-se de que se nesse ponto encontrarmos dois limites distintos mostraremos que o teorema é falso, mas se cairmos em um absurdo/contradição mostraremos que o teorema é verdadeiro. 

Considerando $\delta= min(\delta_1 ,\delta_2)$, se $0<\left| x-a \right| <{ \delta }$ então deverão existir as desigualdades:
$$\left| f(x)-L\right| < \varepsilon$$
e
$$\left| f(x)-M \right| < \varepsilon$$
Mas sabemos que podemos reescrevê-las da seguinte maneira:
$$L-\varepsilon < f(x) < L+ \varepsilon$$
e
$$M-\varepsilon < f(x) < M+ \varepsilon$$
Como $\varepsilon =\frac { M-L }{ 2 } $ temos que: 
$$L-\left( \frac { M-L }{ 2 }  \right) < f(x) < L + \left( \frac { M-L }{ 2 }  \right) $$
e
$$M-\left( \frac { M-L }{ 2 }  \right) < f(x) < M+ \left( \frac { M-L }{ 2 }  \right)  $$
Desenvolvendo ambas as desigualdades chegamos à:
$$\frac { 3L-M }{ 2 } < f(x) < \frac { M+L }{ 2 } $$
e
$$\frac { M+L }{ 2 } < f(x) < \frac { 3M-L }{ 2 } $$
Comparando atentamente ambas as desigualdade percebemos que existe uma pequena contradição em sua representação, veja que $f(x)$ é, ao mesmo tempo, menor e maior que o termo $\frac { M+L }{ 2 }$ o que é um absurdo, logo mostramos que $L\neq M$ não pode acontecer e portanto $ L = M $, ou seja, o limite de uma função, se existir, será único.

Se tivéssemos escolhido $M < L$ teríamos chegado a mesma conclusão, ou seja, por analogia chegaríamos ao absurdo provando então que $L = M$. 

Espero que tenha gostado desta aula e que tenha compreendido os passos utilizados para sua demonstração. Note que esse teorema faz com que tenhamos certeza de que se uma função $f(x)$ possui limite então este deverá ser único. 

É importante ressaltar que nesta aula foram utilizados artifícios matemáticos e conceitos vistos em aulas anteriores que foram necessários para o desenvolvimento desta demonstração, por esse motivo é de fundamental importância que você acompanhe este curso na sequência correta sem pular nenhuma aula. 

Material de apoio

Navegando pela internet encontrei no youtube um vídeo que explica de forma similar e bem didática esta demonstração e que servirá de embasamento para esta aula, recomendo que assista:
Unicidade do Limite por Prof. Marcelo Furtado

Recomendação de Leitura

[1] Demonstração do Limite Fundamental Exponencial - O Baricentro da Mente
[2] Integrais Impróprias com Limites Finitos - O Baricentro da Mente
[3] Use o Excel para apresentar uma introdução sobre Limites - TICs na Matemática
[4] Definição Formal de Limites - Aqui no blog Vivendo entre Símbolos

Lembre-se de deixar aquele velho comentário agradecendo, deixando sua opinião ou sugestão ou até mesmo deixando uma crítica (construtiva é claro) para melhorarmos ainda mais este curso, assim saberei que estão acompanhando nossas aulas.

Um grande abraço e até a próxima aula do nosso curso!
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Aula 4 - Unicidade do Limite de uma Função Reviewed by Romirys Cavalcante on 6.1.15 Rating: 5

5 comentários:

  1. Conheco seu site a pouco tempo e estou adorando seu trabalho. Me ajudando muito.
    Muito obrigado!

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    1. Olá Ramon Brito!

      Fico feliz em saber que estou lhe ajudando com seus estudos. Estou me esforçando ao máximo para manter a periodicidade das publicações do curso de Cálculo por conta do tempo, mas estou conseguindo um bom resultado. Ainda nesta semana vou lançar mais 2 ou 3 aulas do curso, espero que goste também...

      Obrigado por comentar aqui no blog, isso sem dúvidas me motiva ainda mais a continuar com este projeto. Um grande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Muito obrigado, essa explicação, diferente do livro, foi bem didática!

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    Respostas
    1. Olá Ruan Vieira!

      Obrigado pelo elogio quanto a didática utilizada nesta aula. Um grande abraço bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. A relação de igualdade é transitiva. Isto siginifica que
    $$a=b\text{ e }b=c\quad \Longrightarrow \quad a=c\qquad(1)$$
    Suponha que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ e $\lim_{x\to a} f(x)=M$. Tomando $a=L$, $c=M$ e $b=\lim_{x\to a} f(x)$ em $(1)$ obtemos $L=M$. Isto prova a unicidade do limite.

    Qual é o problema com o argumento acima?

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