Top Ad unit 728 × 90

Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função

Estou dando início a aula 5 do curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Na aula de hoje vamos estudar sobre as propriedades operatórias dos limites, conteúdo de grande importância quando estamos trabalhando com limites. Já pensou ter que resolver limites pela definição toda vez? Seria muito complicado e chato não é mesmo? Com o conteúdo de hoje você vai aprender caminhos e métodos mais fáceis para encontrá-los.

Propriedades Básicas dos Limites

Abaixo você vai conhecer os dois limites mais básicos de se aprender quando estudamos as propriedades de limites. 

Seja $f(x)=x$ e $k$ uma constante, temos:

Propriedade 1: O limite de uma função $f(x)=x$ será equivalente ao valor que o "$x$" se aproxima, no caso abaixo, o limite da função $f(x)$ será "$p$", pois este é valor em que "$x$" está se aproximando.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=\lim _{ x\rightarrow p }{ x=p }  } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ x=3 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ x=5 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow \pi  }{ x=\pi  } $$
Propriedade 2: O limite de uma constante é a própria constante.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ k=k } $$ 

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 9=9 } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \pi =\pi  } $$
$$ \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ 12=12 } $$

Principais Propriedades dos Limites

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)=M }$ e $ n\in { N }^{ \ast  } $, então:

Propriedade 3: O limite da soma entre duas funções é equivalente a soma dos limites dessas funções. 
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)+g(x) \right] =L+M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)+\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { x }+4 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { x }+\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4=1+4=5 }  }  $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( 3x+7 \right) =\lim _{ x\rightarrow 5 }{ { 3x }+\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=15+7=22 }  }  } $$

Propriedade 4: O limite da diferença entre duas funções é equivalente a diferença dos limites dessas funções.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)-g(x) \right] =L-M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)-\lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { x }-7 \right) = } \lim _{ x\rightarrow 5 }{ { x }-\lim _{ x\rightarrow 5 }{ 7=5-7=-2 }  }  $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( 4x-1 \right) =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ { 4x }-\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 1=8-1=7 }  }  }  $$

Propriedade 5: O limite de uma constante por uma função é equivalente ao produto da constante pelo limite da função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ k\cdot f(x) \right] =k\cdot L=k\cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left[ 3\cdot \left( { 4x }+7 \right)  \right] = } 3\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 5 }{ \left( { 4x }+7 \right)  }  \right] =3\cdot \left[ 4\cdot 5+7 \right] =3\cdot 27=81$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left[ 2\cdot \left( { x }+1 \right)  \right] = } 2\cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+1 \right)  }  \right] =2\cdot \left[ 1+1 \right] =2\cdot 2=4 $$

Propriedade 6: O limite do produto entre duas funções é equivalente ao produto dos limites dessas funções. 
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ f(x)\cdot g(x) \right] =L\cdot M=\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) } \cdot \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( 2x \right) \cdot \left( x+4 \right)  \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x }  \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+4 \right)  }  \right] =4\cdot 6=24$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \left( { x }^{ 3 } \right) \cdot \left( x-1 \right)  \right] = } \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { x }^{ 3 } }  \right] \cdot \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x-1 \right)  }  \right] =8\cdot 1=8 $$

Propriedade 7: O limite da divisão entre duas funções é equivalente a divisão entre os limites dessas funções se, e somente se, o limite da função que fica no denominador for diferente de zero, no caso abaixo, a propriedade é válida se $ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x)\neq 0 } $.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \left[ \frac { f(x) }{ g(x) }  \right] =\frac { L }{ M } =\frac { \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }{ \lim _{ x\rightarrow p }{ g(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \frac { \left( 4x \right)  }{ \left( x+2 \right)  }  \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x }  \right]  }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right)  }  \right]  } =\frac { 8 }{ 4 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left[ \frac { \left( 8x \right)  }{ \left( 3x-3 \right)  }  \right] = } \frac { \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ 8x }  \right]  }{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 3 }{ \left( 3x-3 \right)  }  \right]  } =\frac { 24 }{ 6 } =4 $$

Propriedade 8: O limite de uma função elevada a $n$ é equivalente ao limite elevado a $n$ dessa função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left[ f(x) \right]  }^{ n }={ { \left( L \right)  }^{ n }=\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right]  }^{ n } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left[ x+2 \right]  }^{ 3 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { \left( x+2 \right)  } }  \right]  }^{ 3 }={ \left( 4 \right)  }^{ 3 }=64$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left[ 3x-1 \right]  }^{ 2 }= } { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ { \left( 3x-1 \right)  } }  \right]  }^{ 2 }={ \left( 11 \right)  }^{ 2 }=121$$

Outras Propriedades Importantes de Limites

As propriedades abaixo são pouco conhecidas, mas são de grande importância em alguns casos para resolução de limites, por isso é importante conhecer e aprender cada uma delas.

Seja $k$ uma contante, $\lim _{ x\rightarrow p }{ f(x)=L } $ e $ n\in { N }^{ \ast  } $, então:

Propriedade 9: O limite da raiz enésima de uma função é equivalente a raiz enésima do limite dessa função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \sqrt [ n ]{ f(x) } =\sqrt [ n ]{ L } =\sqrt [ n ]{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  }  }  $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \sqrt [ 3 ]{ 4x } = } \sqrt [ 3 ]{ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (4x) }  } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \sqrt { 3x+4 } = } \sqrt { \lim _{ x\rightarrow 4 }{ (3x+4) }  } =\sqrt { 16 } =4 $$

Propriedade 10: O limite do logaritmo natural de uma função é equivalente ao logaritmo natural do limite dessa função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ \ln { f(x) } =\ln { (L) } =\ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right]  }  } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left[ \ln { \left( x+2 \right)  }  \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( x+2 \right) }  \right]  } =\ln { 4 } \cong 1,39$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left[ \ln { \left( 3x-2 \right)  }  \right] = } \ln { \left[ \lim _{ x\rightarrow 4 }{ \left( 3x-2 \right) }  \right]  } =\ln { 10 } \cong 2,3 $$

Propriedade 11: O limite de "$e$" elevado a uma função é equivalente a "$e$" elevado ao limite dessa função. 
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ { \left( e \right)  }^{ f(x) }={ \left( e \right)  }^{ L }={ \left( e \right)  }^{ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  } } $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ { e }^{ \left( x+1 \right)  }= } { \left( e \right)  }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ x+1 }  \right]  }={ \left( e \right)  }^{ 3 }\cong 20,08$$
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { e }^{ \left( 4x \right)  }= } { \left( e \right)  }^{ \left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ 4x }  \right]  }={ \left( e \right)  }^{ 4 }\cong 54,6 $$

Propriedade 12: O limite do seno de uma função é equivalente ao seno do limite dessa função.
$$ \lim _{ x\rightarrow p }{ sen\left[ f(x) \right]  } =sen\left[ L \right] =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow p }{ f(x) }  \right] $$

Exemplos:
$$ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ sen\left[ 3x+1 \right]  } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( 3x+1 \right)  }  \right] =sen(4) $$
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ sen\left[ { x }^{ 2 }+4 \right]  } =sen\left[ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right)  }  \right] =sen(8) $$

Espero que tenha gostado desta aula. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima aula. Não se esqueça de por em prática todas essas propriedades com vários exercícios, pois só assim você vai conseguir fixar esse conteúdo em sua cabeça.

Aula Anterior Próxima Aula
Aula 5 - Propriedades do Limite de uma Função Reviewed by Romirys Cavalcante on 17.1.15 Rating: 5

14 comentários:

  1. Boa tarde.
    Em apenas uma página este blog consegue transmitir o conteúdo com a eficiência que muitos professores não conseguem alcançar.
    Parabéns pela didática.
    E o meu sincero obrigado
    José Geraldo

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá José Geraldo!

      É gratificante receber comentários como este em meus artigos. Estou me esforçando ao máximo pra trazer um curso de qualidade para os meus leitores e de forma gratuita. Sei que não é uma tarefa fácil, mas com o incentivo e a participação de vocês sei que vou conseguir... Obrigado por estudar com o Vivendo entre Símbolos...

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  2. Tome $f(x)=x^2-1$, $g(x)=x-1$ e $p=1$. Aplicando sua propriedade $7$, obtemos
    $$2=\frac{0}{0}.$$
    Agora, tomando $f(x)=x^2-9$, $g(x)=x-3$, $p=3$ e aplicando a mesma propriedade 7, resulta que
    $$6=\frac{0}{0}.$$
    Assim, $2=6$. Como pode?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!!!

      Obrigado pela observação, eu acabei me esquecendo que essa propriedade possui uma pequena condição para ser verdadeira, no caso o limite da função que está no denominador deve ser diferente de zero, para evitar casos como o que você citou acima... Peço desculpas pelo erro e obrigado por mostrá-lo para mim... Já concertei esse detalhe no artigo para evitar futuros comentários a respeito dessa questão!!!

      Ficaria feliz se pudesse identificar-se das próximas vezes, para conhecer as pessoas que me ajudam a melhorar meus artigos...

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  3. Suas publicações estão me auxiliando muito , vejo e estudo uma por uma... Mas cadê a próxima aula ???
    Estou precisando chegar em Integral o mais rápido possível ! Queria esse auxilio ;)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      O curso teve uma pausa, mas assim que as coisas se organizarem aqui eu irei continuar com a série de artigos. Não se preocupe, não vai demorar para isso acontecer, então fique atento as nossas novidades.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  4. Só uma sugestão: adicionar o link das aulas ou da aula anterior no tópico atual, facilitando assim o acesso do leitor ao curso completo, ou "integral", rs.

    Parabéns, e até!
    -Gabriel

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Gabriel!

      Boa dica, eu já havia recebido esse tipo de orientação por e-mail, mas só agora notei que não havia implementado. Vou procurar um método para facilitar a navegação do leitor pelo curso de cálculo que estou montando. Obrigado pela dica e bons estudos!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  5. Prezado Romirys,

    Gostei muito do material estou recomendadndo para os meu alunos de Cálculo I.
    Parabéns.

    Ruth

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Ruth!

      Fico feliz em saber que meu material está contribuindo com aprendizado de várias pessoas pelo Brasil inteiro. Obrigado pelo elogio, bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  6. Respostas
    1. Olá!

      Muito obrigado pelo elogio professor Rodrigo Corrêa!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  7. Muito obrigada pelo conteúdo. Vc é bem didático! Parabéns! Eu agradeço porq está me ajudando e muito! Agr estou compreendo. Conteúdo que muitos professores passam,mas não transmitem a essência do assunto como vc.Valew!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Fico muito feliz em saber que estou contribuindo com seu aprendizado, isso sem dúvidas é muito gratificante e é o melhor pagamento que eu poderia ter com esse projeto. Um grande abraço, bons estudos e até breve.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir

Todos os direitos reservados por Vivendo entre Símbolos © 2012 - 2017
Criado com o Blogger e Personalizado por Edigley Alexandre

Formulário de contato

Nome

E-mail *

Mensagem *

Tecnologia do Blogger.