Top Ad unit 728 × 90

Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 3 - Definição Formal de Limite

Estou dando início a aula 3 do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral. Nesta aula você vai aprender sobre a definição formal de Limite. Muitos amigos professores que conheço dizem que essa é uma das partes mais chatas do Cálculo, pois é muito complicado resolver limites pela definição, no entanto esta definição é de suma importância para que você não sinta dificuldades em conteúdos futuros dessa disciplina.

Definição formal de Limite

Abaixo irei apresentar a definição formal de Limite e em seguida irei explicá-la de modo a esclarecer alguns pontos importantes desse conteúdo. Por fim irei resolver alguns limites pela definição para que fique claro como devemos proceder em situações que exijam a resolução de limites utilizando a definição.
Seja uma função $y=f(x)$ definida sobre algum intervalo aberto que contenha o número $a$, mas não obrigatoriamente essa função necessita estar definida nesse ponto $a$. Podemos dizer então que, o limite de $f(x)$ vale $L$ quando $x$ se aproxima, ou quando $x$ tende ao número $a$ e representamos essa afirmação por $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$, existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $. 
Importante: A Matemática usa símbolos para indicar diferenças muito pequenas. Os símbolos mais comuns utilizados são $\varepsilon$ (lê-se: Épsilon) e $\delta$ (lê-se: Delta).

Note que em nenhum momento dessa definição é mencionado algo sobre o valor da função quando $x=a$, ou seja, não é necessário que a função esteja definida em $a$, pois o que importa no limite é o que acontece com o valor de $f(x)$ nas proximidades do número $a$ tanto pela direita quanto pela esquerda. 

Estudando a definição formal de Limite

Nesse momento irei relatar as minhas conclusões e observações acerca da definição formal de limites. Espero que alguma dessas observações sejam úteis para a sua compreensão desse conteúdo.

A definição formal de Limites diz que se conseguirmos fazer $\left| x-a \right|$ tão pequeno quanto possível e  $\left| f(x)-L \right|$ também tão pequeno quanto possível, mas maiores que zero e pudermos associar essas diferenças por meio de uma relação, então existirá o limite $L$ da função $f(x)$ quando $x$ tende ao número $a$. 

Em outras palavras se pudermos atribuir um valor "$\varepsilon$" maior que zero de modo que exista um valor correspondente "$\delta$" também maior que zero então:
$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$$

Interpretação geométrica da definição formal de Limite

Observe a função $f(x)$ representada no gráfico abaixo:

Perceba que se pudermos relacionar "$\varepsilon$" em função de "$\delta$", então para qualquer intervalo no eixo $x$ próximo de $a$ podemos fazer um intervalo no eixo $y$ próximo de $L$, ou seja, $f(x)$ tende a $L$ quando $x$ tende a $a$ se fizermos "$\varepsilon$" e "$\delta$" tão pequenos quanto possível, porém maiores que zero, e se pudermos encontrar uma relação entre "$\varepsilon$" e "$\delta$".

Resolução de limites pela definição formal

Veja como resolver limites pela definição formal. Preste atenção nos passos que devemos seguir para resolver limite pela definição e perceba que em alguns casos devemos fazer manipulações matemática para atingirmos o resultado que queremos. Faz-se necessário que você saiba algumas propriedades de módulo para trabalhar com esse tipo de situação. 

Para isso recomendo que você faça a leitura do artigo: Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular, do professor e grande amigo Kleber Kilhian, lá você vai compreender a definição de módulo e conhecer suas principais propriedades de forma bem didática. 

Exemplo 1

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 2 }$, pois:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x+1-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Exemplo 2

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 3 }$, pois:
$$0<\left| x-1 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x+2-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 }>0 $, tal que: $0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Exemplo 3

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 4 }$, pois:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-1-7 \right| <\varepsilon \\ \left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Deixo como desafio provar pela definição de limite que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ x^2=4 } $$

Como será a próxima aula

Na aula 4 irei explicar as propriedades de limites e irei resolver alguns exemplos para fixar essas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog. O que você achou dessa aula? Gostaria que ela contemplasse mais alguma informação? Gostaria de sugerir edições e melhorias para as próximas aulas? Fique a vontade para deixar sua opinião nos comentários deste artigo ou entre em contato por e-mail: contato@vivendoentresimbolos.com


Referências bibliográficas:

[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; José Machado, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Noções de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2005.
[2] Régis Vieira Alves, Francisco. Cálculo I. Equipe de elaboração UAB/IFCE, Fortaleza, 2011. 
Aula Anterior Próxima Aula
Aula 3 - Definição Formal de Limite Reviewed by Romirys Cavalcante on 27.10.14 Rating: 5

22 comentários:

  1. Poderia explicar o que significa dizer que uma desigualdade tende para outra desigualdade?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Na verdade o meu intuito era de ter mostrado que se uma desigualdade existe, "então" a outra também existirá, no entanto, pelo que você bem observou, troquei as simbologias. O correto seria eu ter utilizado o símbolo $\Rightarrow $ em vez do símbolo $\rightarrow $ para esse caso, evitando assim esse tipo de dúvida.

      Obrigado pelo comentário e pela leitura atenta do artigo, já estou concertando esse pequeno deslize que cometi. Um abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  2. Nos exemplos, você diz que podemos tomar qualquer valor para $\delta$. Podemos tomar $\delta=1$ ou $\delta=2\varepsilon$?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Como $\delta $ e $\varepsilon$ são resultados da diferença de $x-a$ e $f(x)-L$, respectivamente, perceba que eles deverão ser valores bem pequenos, por isso são representados por essas letras, como citei no artigo, a Matemática costuma utilizar símbolos para representar diferenças muito pequenas, logo é sensato que a escolha para o $\delta $ ou $\varepsilon$ seja um valor pequeno e bem próximo de zero.

      Respondendo a sua pergunta, podemos escolher qualquer valor para $\delta >0$, lembrando que ele deve ter uma relação correspondente ao valor do $\varepsilon$. Outra observação que faço é que quanto maior for o valor escolhido, significa dizer que o intervalo que você está analisando entre $x$ e $a$ está aumentando, o que no conteúdo de Limite, não nos interessa muito.

      Qualquer outro questionamento, pode comentar aqui no blog.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  3. oi professor...muito bom seu site...um achado para uma estudante de engenharia no 1 SEMESTE!!! para ser melhor ainda, seria bom se vc fizesse video aulas, com certeza faria sucesso tendo em vista que é escasso canais que tenham como foco a temida matéria de cálculo e não faltam estudantes desesperados kkkkk......pense nesse possibilidade...essa aluna aqui vc já teria ;)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Obrigado pela sugestão com relação as vídeo-aulas. A única coisa que falta para eu iniciar isso é um pouco de prática para elaborar essas aulas em forma de vídeo, mas vontade não me falta. Tenha certeza que em breve o blog Vivendo entre Símbolos terá muitas vídeo aulas de cálculo para ajudar leitores como você nessa tão temida disciplina.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  4. professor o resultado da questão desafio é: |x-2|<E/|x+2|. E= épsilon?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Thiago!

      Infelizmente não. Existe uma noção semelhante a esse desafio no livro Fundamentos de Matemática Elementar vol. 8 - Limites, Derivas e Noções de Integral. pág. 27 questão 21. Espero que ajude com essa resolução.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  5. Excelente explicação. Muito obrigado pela ajuda.
    Continuação de bom trabalho!!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É um prazer poder contribuir com seu aprendizado!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  6. Ótimo material ... Parabéns!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá May!

      Obrigado pelo elogio ao conteúdo que publico aqui no site. É sempre bom receber comentários assim, pois vejo que estou conseguindo atingir meu objetivo de ajudar as pessoas a aprenderem matemática de uma forma fácil e mais didática. Bons estudos, um abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  7. A resposta do desafio seria: |x-4|< E/x ? Se estiver errado, por favor, dê a resposta certa para eu tentar entender, obrigada!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  8. muito bom....parabens...me ajudou mto

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Fico feliz em poder contribuir com seu aprendizado. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  9. Olá professor, o Sr. poderia avaliar se encontrei a solução correta para o desafio?

    Cheguei na conclusão que |x-2| < sqrt(4+£) - 2 e |x-2| < 2 + sqrt(4+£).

    Muito obrigado pela sua atenção

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Matheus!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  10. Olá, o resultado do desafio ficaria:
    δ = sqrt(ε + 4) - 2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Matheus!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir
  11. Professor, suas aulas estão sendo de grande ajuda no meu curso! muito obrigado mesmo. Eu gostaria de ver uma dessas provas que fez acima, relacionando épsilon e delta, com uma equação quadrática Ex : Lim X -> 1 F(x) = X² + 1 = 2. Estou no primeiro período da UFRJ, e os artifícios usados pelo meu professor não foram claros a mim. Continua com esse projeto e explicações excelentes. sucesso!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá!

      Fico muito feliz em saber que estou contribuindo com o seu aprendizado. Vou dar uma atualizada nessa publicação e colocar mais exemplos utilizando equação quadrática como solicitou. Um grande abraço, bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

      Excluir

Todos os direitos reservados por Vivendo entre Símbolos © 2012 - 2017
Criado com o Blogger e Personalizado por Edigley Alexandre

Formulário de contato

Nome

E-mail *

Mensagem *

Tecnologia do Blogger.