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Aula 8 - Limites laterais por meio dos gráficos de suas funções

Estou dando início a aula 8 do nosso curso de cálculo aqui no Vivendo entre Símbolos. Hoje vamos analisar os limites laterais de uma função real por meio de seus gráficos. Para isso iremos utilizar o GeoGebra como ferramenta de apoio em nossos estudos.


Na aula passada vimos como os limites laterais ajudam na hora de determinarmos o limite de uma função real. Basicamente, trouxemos a ideia de unicidade do limite de uma função, ou seja, mostramos que uma função só possui limite se seus limites laterais forem iguais. 

Hoje vamos trabalhar, basicamente, o mesmo assunto só que de uma maneira um pouco diferente, ou seja, vamos realizar essa análise dos limites laterais de uma função utilizando seus gráficos. 

Observação: Para um(a) aluno(a) que está cursando cálculo em sua graduação, saber construir (ou plotar) gráficos de funções é um pré-requisito que espera-se que ele tenha aprendido em seu período de ensino médio. Caso você tenha dificuldades nesse assunto recomendo que estude um pouco sobre ele no canal Vestibulandia do meu amigo Nerckie no YouTube.

Uma vez que você esteja familiarizado com a construção de gráficos de uma função iremos começar a nossa aula. Em cada caso, a seguir, iremos utilizar as representações dos gráficos, das funções em questão, construídas com o auxílio da ferramenta GeoGebra.

Exemplo 01: Vamos determinar o limite da função $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$. Perceba que vamos começar com uma função mais simples (função do 1° grau) para que possamos compreender claramente como devemos realizar a análise de seus limites por meio de seus gráficos. 

Na medida em que avançarmos com os exemplos iremos aumentar o nível de dificuldade das funções analisadas.

Abaixo você pode conferir o gráfico da função $f(x)=2x+3$


Por se tratar de uma função do 1° grau temos uma reta como gráfico para essa função. Perceba que essa reta possui um ponto, marcado em azul, que iremos utilizar como base para nossas observações.

De acordo com esse gráfico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ a valores próximos de $2$, tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ (eixo das coordenadas) aproximam-se de $7$. Abaixo você pode ver isso com mais facilidade com auxílio das setas em azul.


Logo, podemos afirmar, com base no gráfico, que o limite da função $f(x)=2x+3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$, pois seus limites laterais se aproximam desse valor, ou seja, são ambos iguais a $7$.

Algebricamente temos: $$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2x+3) } =7 $$Lê-se: o limite de $2x+3$ quando $x$ tende a $2$ é igual a $7$.

Percebeu como fica fácil de determinar o limite de uma função quando conhecemos o seu gráfico?

Exemplo 02: Vamos determinar o limite da função $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $ quando $x$ tende a $0$ (zero). Perceba, a princípio, que essa função não está definida para $x=0$, pois não podemos efetuar a divisão de alguma coisa por nada.

Porém, sabemos que o limite não se trata de saber o que acontece com a função no valor de $x$ que estamos analisando e sim o que acontece em suas extremidades, ou seja, nas laterais de $x$. Por isso uma função pode possuir um limite para um determinado valor $x$ mesmo que ela não esteja definida nesse ponto em seu domínio. Nunca se esqueça desse "pequeno" detalhe.

Abaixo você pode conferir o gráfico da função $ f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } $.


Perceba que na origem do plano cartesiano colocamos uma "bolinha" em branco na hora de montarmos nosso gráfico. Isso quer dizer que essa função está definida para todos os demais pontos do eixo das abscissas (eixo horizontal) com exceção daquele ponto, ou seja, ele não faz parte do gráfico de $f(x)$.

Note que a medida em que aproximamos valores de $x$ próximos de zero, pela direita, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito positivo e a medida em que aproximamos valores de $x$ próximos de zero, pela esquerda, os valores de $f(x)$ tendem ao infinito só que, dessa vez, negativo. Você pode conferir isso na imagem abaixo com auxílio das setas em azul.


Logo, podemos concluir, de acordo com a análise de seu gráfico, que essa função não possui limite, uma vez que seus limites laterais são diferentes.

Exemplo 03: Vamos determinar o limite da função $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } $ quando $x$ tende a $2$. Note que essa função também não está definida para $x=2$, pois ela gera uma indeterminação matemática, veja:
$$ f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(2)=\frac { 4-{ 2 }^{ 2 } }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 4-4 }{ 2-2 } \\ f(2)=\frac { 0 }{ 0 } $$
Por esse motivo dizemos que a função $f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x }$ não está definida para $x=2$.

Felizmente sabemos que o limite não se preocupa com o que acontece com a função exatamente no valor de $x$, mas sim o que acontece em suas extremidades. Sabemos também que, em alguns casos, podemos utilizar de alguns artifícios matemáticos para procurar "fugir" dessas indeterminações matemáticas.

Na maioria dos casos podemos utilizar o artifício da fatoração utilizando algumas propriedades matemáticas que já foram mencionadas e até comentadas nesse curso de cálculo em nossa aula 2.

Se analisarmos atentamente a função $f(x)$ perceberemos que seu denominador é um polinômio conhecido como diferença de dois quadrados e que pode ser reescrito como o produto da soma pela diferença, logo:
$$f(x)=\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { 2^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ 2-x } \\ f(x)=\frac { (2+x)\cdot (2-x) }{ 2-x } $$
Nesse momento podemos fazer o cancelamento do termo ($2-x$) do numerador com o termo ($2-x$) do denominador somente por que sabemos que $x\neq 2$, caso contrário esse cancelamento não poderia ser feito. Então ficamos com a seguinte expressão:
$$f'(x)=2+x$$
Logo podemos concluir que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x }  } =\lim _{ x\rightarrow 2 }{ (2+x) } $$
Observação: É importante que você saiba que essas duas funções possuem, apenas, o mesmo limite, porém isso não quer dizer que elas sejam iguais, ou seja, a primeira função $f(x)$ não está definida para $x=2$ enquanto que a segunda, que tomamos o cuidado de identificar por $f'(x)$, está definida para $x=2$, por esse motivo não podemos dizer que são a mesma função. Nunca se esqueça disso.

De fato podemos perceber a veracidade dessa informação quando plotamos os gráficos de ambas essas funções no GeoGebra, veja:


Note que a primeira função (representada pela cor preta) tem o mesmo gráfico da segunda função (representada pela cor vermelha) ficando ambas uma em cima da outra. Lembre-se que a única diferença é que para a segunda função (representada pela cor vermelha) o valor de $x=2$ está bem definido.

Perceba que colocamos mais uma vez a "bolinha" branca para indicar que, para a primeira função (representada pela cor preta) o valor para $x=2$ não pertence a ela.

Agora que plotamos nosso gráfico podemos perceber que a medida em que aproximamos $x$ de valores próximos de $2$ tanto pela esquerda como pela direita, os valores de $f(x)$ aproximam-se, cada vez mais, de $4$.

Perceba isso com auxílio das setas em azul na imagem abaixo:


Com base nesse gráfico, podemos concluir que o limite da função $f(x)$ em questão é igual a $4$. Algebricamente temos que:
$$ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ 2-x }  } =4 $$

Considerações finais

Essa foi uma aula bem simples sobre como podemos determinar os limites laterais de uma função por meio de seus gráficos com ajuda do GeoGebra. Estou procurando ser bem direto nas explicações e por esse motivo elas tendem a ser curtas e bem rápidas.

Na medida do possível pretendo manter a frequência de publicações das aulas desse curso gratuito de cálculo para ajudar o máximo de pessoas possível. Em breve iniciarei as vídeo aulas de cálculo em nosso canal no YouTube. Bons estudos, um grande abraço e até a próxima aula.

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Aula 8 - Limites laterais por meio dos gráficos de suas funções Reviewed by Romirys Cavalcante on 13.1.17 Rating: 5

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