O método de completar quadrados: processo geométrico

Você já se perguntou como as pessoas resolviam as equações do 2º grau antigamente quando não existia a famosa fórmula de Bhaskara? Que métodos eram utilizados para desvendar os problemas envolvendo as equações do 2º grau com uma variável? Ficou curioso para descobrir que métodos eram esses? Se a resposta for positiva lhe aconselho a continuar lendo esta publicação.

Há muito tempo atrás, quando ainda não existia a fórmula de Bhaskara, as pessoas utilizavam um método bem interessante para resolver as equações do 2º grau. Esse método era chamado de "completar quadrados". Antes de mais nada vale ressaltar que esse método foi criado pelo  grande matemático al-Khwarizmi. 

Existem muitas maneiras de se explicar esse método. Muitas delas bem complicadas que até eu me atrapalho as vezes. Nessa publicação irei mostrá-lo por meio de um processo geométrico bem interessante, que consiste em transformar a representação geométrica de uma equação do 2º grau em um quadrado. 

Toda equação do 2º grau pode ser expressa da seguinte maneira: ax² + bx + c = 0 com "a" diferente de zero. Essa é a representação básica de uma equação do 2º grau, porém, o que nem todos sabem é que, essa é apenas uma das vastas maneiras de se expressar uma equação de grau 2. Uma delas, em particular, é a representação geométrica de uma equação do 2º grau. Irei mostrar um exemplo e a partir dele construirei a explicação do método de completar quadrados usando algumas figuras geométricas, veja:

Exemplo:

Encontre as raízes da seguinte equação do 2º grau: x² + 4x - 12 = 0

Resolução pelo método de completar quadrados: processo geométrico

O primeiro passo que devemos seguir é colocar o número que não tem "x" para o segundo membro, então a equação ficará assim:

x² + 4x = 12

Agora vamos traduzir a equação acima em forma de figuras geométricas, ou seja, faremos a representação geométrica dessa equação do 2º grau, veja como: 

Vou dizer que "x²" representa a área de um quadrado  de lado "x" e que "4x" representa a área de um retângulo de lados "4 e x" e o "12" será a área total equivalente a junção dessas duas figuras geométricas. Veja o que eu quis dizer por meio das figuras abaixo:

Note que se eu juntar esse quadrado da esquerda com o retângulo da direita a figura que será formada não vai se parecer nenhum pouco com um quadrado, pois ela vai ser um retângulo, confira:

É ai que surge uma pergunta: Como transformar essa figura em um quadrado? Veja como é fácil fazer isso.

Vou pegar o retângulo de área "4x" e irei cortá-lo em quatro pedaços iguais horizontalmente, veja:

Vou colocar umas cores em cada pedaço para não confundirmos nada:

Agora vou pegar cada pedacinho desse e juntar com cada um dos lados do quadrado de lado "x" que ainda não mexemos. Veja como a figura vai ficar agora:

Agora que vem o que chamamos de "completar quadrados", veja que a figura que eu formei está faltando apenas os cantos para se transformar em um quadrado. Note que esses cantos são pequenos quadrados de lado "1", ou seja, no final das contas para completarmos esse quadrado devemos adicionar quatro quadradinhos de lado "1" e como cada quadrado possui a área também igual "1" então, no total, iremos adicionar o valor "4" a nossa equação, pois são 4 quadrados. Veja a nova figura:

Veja que o quadrado formado possui o lado medindo "1+x+1" ou simplificando "x+2". Agora se somarmos 4 em ambos os membros da nossa equação teremos:

x² + 4x + 4 = 12 + 4  

(x + 2)² = 16

x + 2 = 4   ou   x + 2 = -4

x = 4 - 2   ou   x = -4 - 2

x = 2      ou      x = -6

Achamos as raízes da nossa equação do 2º grau usando o método da "completação de quadrados" com o auxílio de figuras geométricas. Espero que tenha gostado dessa publicação. 

Recomendamos que leia também:

[1] O método de completar quadrados: processo prático
[2] A biografia de al-Khwarizmi