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O método de completar quadrados: processo prático

Conheça um método super prático de resolver equações do segundo grau sem sabermos a fórmula de Bhaskara, o método de completar quadrados por um processo prático.


Saiba mais sobre o grande matemático que desenvolveu esse maravilhoso método, veja a biografia de Al-Khwarizm. Você também pode aprender o método de completar quadrados pelo processo geométrico.

Dada a equação 2x² + 16x + 14 = 0, seguiremos os seguintes passos:

O primeiro passo é analisar o número que está multiplicando o termo x².
  • Se o número for diferente de 1 dividiremos ambos os lados da equação por este número;
  • Se o número for igual a 1 não precisamos fazer nenhuma modificação na equação e passamos para o próximo passo.
No nosso caso o número que está multiplicando o x² é igual a 2 então devemos dividir os dois lados da equação por este número, veja:



O segundo passo consiste em adicionar a ambos os lados da equação o quadrado da metade do número que está multiplicando o termo "x" da nossa equação. O número que está multiplicando o termo "x" da equação é igual a 8. Para acharmos o quadrado da metade desse número basta dividirmos ele por 2 e depois elevar o resultado ao quadrado. Nada muito difícil de se fazer, veja:


Descobrimos que o quadrado da metade de 8 vale 16, então iremos adicionar este número a ambos os lados da nossa equação como manda o segundo passo. Veja como nossa equação vai ficar:


A parte mais interessante vem agora. Quando adicionamos o quadrado da metade do termo que multiplica o "x" a ambos os membros da nossa equação transformamos o primeiro membro dela em um trinômio quadrado perfeito. Veja:


O termo que está entre parênteses é um trinômio quadrado perfeito que pode ser expresso da seguinte maneira:


Substituindo isso na equação temos que: 






x + 4 = 3    ou    x + 4 = -3

x = 3 - 4    ou    x = -3 - 4

x = -1      ou      x = -7 

Encontramos as raízes da nossa equação sem usarmos a famosa fórmula de Bhaskara. Esses passos são aplicáveis a toda equação do 2º grau do tipo:

ax² + bx + c = 0

Com "a" diferente de zero e "b" e "c" pertencente ao conjunto dos números reais. 

Quer mais exemplos sobre completação de quadrados? 
Um grande abraço e até a próxima!
O método de completar quadrados: processo prático Reviewed by Romirys Cavalcante on 20.2.13 Rating: 5

44 comentários:

  1. Muito útil, realmente esclarecedor!

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    1. É um método que eu aconselharia a todos aprenderem por que ele descarta a necessidade de você ter que decorar aquelas fórmulas para delta, x' e x"... Além de ser, na minha opinião, mais fácil para resolver...

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Muito bom esse método, principalmente para as pessoas que não conseguem memorizar formula.
      Porem acho que o ideal seria tentar aprender todo e qualquer método possível, pois conhecimento nunca é de mais!

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    3. Esse método só é bom mesmo quando a pessoa conhece o processo básico de se resolver uma equação do segundo grau, ou seja, o método de Baskara. Esse método que ensinei não serve como um substituto, mas sim como um complemento ao método de Baskara para ajudar em alguns casos em que seja possível utilizá-lo e sim, você tem toda razão, é sempre bom conhecer todos os métodos, afinal de contas, o conhecimento nunca é demais e nunca devemos deixar de buscar aprender coisas novas a respeito de um assunto que já conhecemos... Obrigado pelo ótimo comentário, até a próxima...

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Caro Romirys,
    E o se o termo b da equação for impar?

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    1. Siga o processo normalmente lembrando que o resultado será em forma de fração pois um número ímpar não é divisível por 2, então é só lembrar que o valor que será adicionado é uma fração, por exemplo se b = 3, então o quadrado da metade de três é:

      (3/2)^2 = 9/4

      Então o quadrado da metade de 3 é nove quartos (9/4), ou seja, você deverá adicionar 9/4 a ambos os lados da equação e seguir os passos seguintes que tudo dará certo...

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. tentei fazer essa questão pelo método e não deu, achei dois resultados negativos. X^2-3x+2

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    1. Olá Jeferson,

      Mas você está certo, os resultados para as raízes dessa equação são realmente negativos... Você deve ter encontrado os valores -2 e -1 estou certo? A propósito esse método não dá errado com nenhuma equação do segundo grau, se esta possuir raízes reais... Caso queira posso mostrar como resolver essa sua equação por esse método em uma imagem... Se precisar é só pedir aqui nos comentários dessa publicação ou entrar em contato com a nossa equipe de professores... Obrigado por comentar...

      Att. Romirys Cavalcante

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  4. Cara isso é brincar de matemática!!!!!!

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    1. Olá Anônimo!

      Tem razão, isso sim é brincar de matemática. Obrigado por comentar nesta publicação, sua participação é importante para o crescimento deste blog. Volte sempre!

      Att. Romirys Cavalcante

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  5. Respostas
    1. Olá, Flavio Bacelar!

      Obrigado pela visita e por comentar nesta publicação. Fico feliz que tenha gostado deste artigo. Em breve estarei complementando ele para deixá-lo com mais informações acerca deste assunto tão importante. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  6. Não consigo resolver a equação 3x^22 - 8x - 3 = 0. Me dar uma orientação do pq que meus cálculos não estão dando certo quando ultilizo a forma de completar quadrado

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    Respostas
    1. Olá, anônimo!

      O método de completar quadrados só funciona quando o (a = 1), por isso que você deve está achando um pouco complicado resolver essa equação, que suponho ser do segundo grau, pois nesse caso o (a = 3).

      Para resolver essa equação primeiramente você deverá dividir todo mundo por 3, depois de feito isso você deverá completar a equação em ambos os lados com o quadrado da metade de b, ou seja, com o quadrado da metade de 8/3 e por fim seguir os passos normalmente que eu citei neste artigo.

      Caso queira posso montar uma /imagem de explicação para tirar sua dúvida. Se quiser é só pedir, comentando abaixo, que terei o maior prazer em fazer a resolução dessa equação para você pelo método de completar quadrados!

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. Caro Romirys,

    Fiquei um tanto confuso no método quanto à números ímpares no coeficiente 'b'. Na função 3x² - 17x +20 e na função 4x² - 25x + 36 não estou conseguindo resolver por este método. Se possível, gostaria de uma força tua.

    Att.

    Luigi

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    1. Olá, Luigi!

      Acabei de resolver um de seus exemplos na maneira que ensinei nesta publicação. A explicação se encontra detalhada passo a passo e vai ajudá-lo a compreender melhor o assunto. Fiz essa explicação com ajuda de um editor online de equações e salvei a explicação em forma de imagem. Para você ver a resolução do exemplo que você citou acesse esse status de nossa página no Facebook onde hospedei a imagem para que você pudesse visualizá-la.

      Raízes da equação 3x² - 17x +20 por completação de quadrados no Facebook!

      OBS: Só resolvi um dos exemplos para que o outro fique como exercício para por em prática os passos que eu mostrei na resolução.

      Espero ter ajudado. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  8. Fernando

    Sou aluno do curso de Ciências Econômicas da UFAM - Manaus.

    Parabéns pelo Blog!

    Pesquisei muitas coisas pra tentar entender este assunto, mas só com sua explicação é que consegui de fato "Absorver" do que se trata essa técnica!

    Obrigado!

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    1. Olá Fernando Bastos!

      Fico feliz em ajudar com seus estudos. Essa matéria é pouco falada durante o ensino médio talvez seja por isso que tantas pessoas tenham uma certa dificuldade em aprendê-la. Espero poder criar mais conteúdos a cerca deste tema em breve, até fico feliz que esse primeiro artigo esteja dando conta do recado. Obrigado por comentar e agradecer este artigo aqui do VS, são comentários como esse que motivam nossa equipe de professores a continuarem com esse projeto e a ajudar mais pessoas como novos artigos. Um grande abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  9. Olha, muito obrigado mesmo. Estou cursando a 8° Serie e este texto realmente esclareceu todas as minhas duvidas quanto á isso.

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    Respostas
    1. Olá!

      É um prazer poder ajudar e contribuir com seu aprendizado. Obrigado por comentar. Um grande abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  10. pode dar resultado negativo?? preciso dessa resposta pra hoje, tenho prova de matematica por favooor

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    1. Olá Léo Reis!

      Sim pode dar resultados negativos.

      Att. Romirys Cavalcante

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  11. ajuda, mas não serve para todos os casos!

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    1. Olá!

      Tem razão! Existem casos em que é melhor resolvermos a equação pelo método convencional ( Baskara ) do que por completação de quadrados... Mas mesmo assim é bom conhecer mais de uma maneira de resolver um problema não é mesmo? Nunca se sabe quando vamos precisar disso...

      Att. Romirys Cavalcante

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  12. Obrigado Romirys! ajudou bastante. Sou aluno do curso de Licenciatura em Matemática e o material que tenho é muito "enxuto" por assim dizer, aproveito para Parabeniza-lo e a todos, que com dúvidas e questionamentos ajudam quem se interessa por matemática a exercitar os neurônios kkk.
    Romildo Lima

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    1. Olá Romildo Lima!

      É um grande prazer poder ajudar as pessoas com o pouco que sei da matemática, fico feliz quando sei que estou conseguindo realizar esta tarefa como imaginado. Obrigado pelos elogios e pelo comentário, isso, sem dúvidas, me motiva a continuar firme e forte com este projeto... Um abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  13. Romirys,

    Na seguinte equação 2x^2 - 12x + 11. Seguinte este método, porém um pouco diferente, pois achei-o primeiramente no livro do Stewart e a explicação mundo um pouco. Enfim. O termo "c" que encontrei seria 2, pelo livro, 7 e exatamente pelo seu método outro valor ainda. O que/como me enrolei tanto?

    Abraço

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    1. Veja como prosseguir com essa equação!
      - 1° passo: divida toda a equação por 2
      - 2° passo: adicione o quadrado da metade de "b" a ambos os lados da equação
      - 3° passo: complete o quadrado no primeiro membro
      - 4° passo: passe o que sobrou do primeiro membro para o segundo
      - 5° passo: tire a raiz de ambos os lados da equação
      - 6° passo: desenvolva as duas possibilidades de equação para as raízes

      Esses foram os passos, explicados! Abaixo você confere como ficaria os cálculos de forma direta...
      $$ 2{ x }^{ 2 }-12x+11=0\\ \frac { 2{ x }^{ 2 }-12x+11 }{ 2 } =\frac { 0 }{ 2 } \\ { x }^{ 2 }-6x+\frac { 11 }{ 2 } =0\\ \left[ { x }^{ 2 }-6x+\frac { 11 }{ 2 } \right] +9=0+9\\ \left[ { x }^{ 2 }-6x+9 \right] +\frac { 11 }{ 2 } =9\\ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }+\frac { 11 }{ 2 } =9\\ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }=9-\frac { 11 }{ 2 } \\ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }=\frac { 18-11 }{ 2 } \\ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }=\frac { 7 }{ 2 } \\ x-3=\pm \sqrt { \frac { 7 }{ 2 } } \\ x=3\pm \sqrt { \frac { 7 }{ 2 } } \\ { x }_{ 1 }=3+\sqrt { \frac { 7 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 2 } } \quad e\quad { x }_{ 2 }=3-\sqrt { \frac { 7 }{ 2 } \cdot \frac { 2 }{ 2 } } \\ { x }_{ 1 }=3+\sqrt { \frac { 14 }{ 4 } } \quad e\quad { x }_{ 2 }=3-\sqrt { \frac { 14 }{ 4 } } \\ { x }_{ 1 }=3+\frac { \sqrt { 14 } }{ 2 } \quad e\quad { x }_{ 2 }=3-\frac { \sqrt { 14 } }{ 2 } $$
      Espero ter esclarecido sua dúvida, um abraço e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  14. Muito bom. Já havia entendido a teoria desse metódo , mas a resolução ficava um pouco confusa. Sua forma explicação deixou bem claro como realizar na prática. Obrigado

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    1. Olá Flavio!

      É um prazer poder contribuir com seu aprendizado. Tento explicar os conteúdos, o mais didaticamente possível para que eles tornem-se fáceis aos olhos dos leitores aqui do blog. Obrigado pelo elogio e por comentar aqui no blog, um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  15. Duas perguntas: 1a sobre a miltiplicaçao por 2\2, é equivalante e multiplicar por um, certo? Foi feito apenas para retirar o radical do denominador?
    2a existe metodo de completar outros expoentes? Tipo completar cubo, etc?

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    1. Olá Guilherme!

      Respondendo a sua primeira pergunta a divisão por $2$ em ambos os membros não altera a equação. Ela foi feita apenas para simplificar o termo que multiplicava o termo "$x^2$" da equação, que era justamente o número $2$, isso foi feito pois, para que o método de completar quadrados dê certo, precisamos primeiramente que esse termo seja igual a $1$.

      Respondendo a sua segunda pergunta, creio que exista sim o método de completar cubos, porém não sei ao certo se existe algo depois disso, já que não conseguimos representar objetos em $4$ dimensões ou mais. Então creio que, para nós "reles mortais", o máximo que podemos chegar nos conceitos de completação é no grau $3$, por conhecermos as três dimensões que formam o mundo a nossa volta.

      Espero ter esclarecido suas dúvidas, um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  16. Veja a seguinte generalização do método apresentado por você:
    Na equação ax^2+bx+c=0, com a,b e c reais e a diferente de 0, dividimos os dois lados por a, obtemos x^2+bx/a+c/a. Agora somamos (b/2a)^2 em ambos os lados. Chegamos a x^2+bx/a+(b/2a)^2+c/a=(b/2a)^2. Subtraímos c/a em ambos os lados e fatoramos o lado esquerdo obtemos (x+b/2a)^2=(b/2a)^2-c/a. Agora vamos expandir (b/2a)^2=b^2/4a^2. Substituindo temos (x+b/2a)^2=b^2/4a^2-c/a. Tirando o mdc do lado direito, chegamos a (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2. Usarei +- para representar "mais ou menos" e raiz(a) para simbolizar a raiz de a. Tirando a raiz de ambos os lados, obtemos x+b/2a=+-raiz(b^2-4ac)/2a. Subtraindo b/2a de ambos os lados obtemos x=[-b+-raiz(b^2-4ac)]/2a. Você reconhece está formula? É a fórmula de Bhaskara. Apenas queria deixar esta curiosidade e bela matéria.

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    1. Olá !

      Este processo generalizado nada mais é do que o mesmo processo feito por Bhaskara a muito tempo atrás. Ele apenas generalizou um método que já existia e por esse fato acabou ganhando toda a fama por isso, visto que, as pessoas veem fórmulas como meios mais fáceis para chegar a um resultado. Poucos sabem que a fórmula de Bhaskara, na verdade, não é dele e sim de Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi, conhecido como o "Pai da Álgebra".

      Ótima observação, obrigado por comentar no blog e obrigado pelos elogios feitos quanto ao artigo, um abraço e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  17. salvou minha vida, vlw

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    Respostas
    1. Olá !

      É sempre bom poder contribuir com seu aprendizado!

      Att. Romirys Cavalcante

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  18. Gostei muito do seu post. As respostas às perguntas, além de muito cordiais, adicionaram exemplos novos e esclarecedores. Parabéns!

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    Respostas
    1. Olá Paulo Melo!

      Acredito que os comentários sejam a parte mais importante dentro de um artigo em blogs e sites, eles mostram o nível de interesse de seus leitores e o empenho de seus autores, por isso gosto de responder o maior número de comentários possíveis, por mais que estes me deem um pouco de trabalho para que o artigo fique o mais completo possível.

      Isso faz com que novas interações aconteçam e pessoas como você sintam-se motivadas a comentar, pois sabem que, mais cedo ou mais tarde serão respondidas da melhor forma possível. Obrigado pela observação e pelos elogios. Um grande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  19. Volte meia preciso revisar algum detalhe de matemática básica, sempre termino sabendo algo além da necessidade.
    Dessa vez o "algo além" foi descobrir seu site.

    Pessoas como você não sabem o tamanho da contribuição dada a educação

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    Respostas
    1. Olá Rocha!

      Sempre gostei de ajudar meus colegas com o pouco que sei de matemática. Não demorou muito até que eu tive a ideia de criar um blog para ajudar mais pessoas pelo Brasil a fora. Hoje me sinto feliz em saber que todos os dias contribuo um pouquinho com a educação do meu país. Isso sem dúvidas é que me motiva a continuar com esse projeto. Obrigado pelo elogio, um grande abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  20. Curso Engenharia e só agora estou conhecendo esse método de resolução de equações quadráticas. Teu texto foi o único que me ajudou a "absorver" a ideia. Obrigada pela ótima explicação, e parabéns pelo blog!

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    Respostas
    1. Olá!

      Fico feliz em saber que conseguir compreender o assunto em questão com as minhas singelas explicações. O aprendizado de vocês é, sem dúvidas, a maior recompensa que eu poderia esperar do meu site de matemática. Obrigado pelos elogios e por participar do blog. Um abraço e até breve!!!

      Att. Romirys Cavalcante

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