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Equação Fácil - A sua primeira aula sobre equações deveria ser assim!

Aula 3 - Definição Formal de Limite

Estou dando início a aula 3 do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral. Nesta aula você vai aprender sobre a definição formal de Limite. Muitos amigos professores que conheço dizem que essa é uma das partes mais chatas do Cálculo, pois é muito complicado resolver limites pela definição, no entanto esta definição é de suma importância para que você não sinta dificuldades em conteúdos futuros dessa disciplina.

Definição formal de Limite

Abaixo irei apresentar a definição formal de Limite e em seguida irei explicá-la de modo a esclarecer alguns pontos importantes desse conteúdo. Por fim irei resolver alguns limites pela definição para que fique claro como devemos proceder em situações que exijam a resolução de limites utilizando a definição.
Seja uma função $y=f(x)$ definida sobre algum intervalo aberto que contenha o número $a$, mas não obrigatoriamente essa função necessita estar definida nesse ponto $a$. Podemos dizer então que, o limite de $f(x)$ vale $L$ quando $x$ se aproxima, ou quando $x$ tende ao número $a$ e representamos essa afirmação por $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$, existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $. 
Importante: A Matemática usa símbolos para indicar diferenças muito pequenas. Os símbolos mais comuns utilizados são $\varepsilon$ (lê-se: Épsilon) e $\delta$ (lê-se: Delta).

Note que em nenhum momento dessa definição é mencionado algo sobre o valor da função quando $x=a$, ou seja, não é necessário que a função esteja definida em $a$, pois o que importa no limite é o que acontece com o valor de $f(x)$ nas proximidades do número $a$ tanto pela direita quanto pela esquerda. 

Estudando a definição formal de Limite

Nesse momento irei relatar as minhas conclusões e observações acerca da definição formal de limites. Espero que alguma dessas observações sejam úteis para a sua compreensão desse conteúdo.

A definição formal de Limites diz que se conseguirmos fazer $\left| x-a \right|$ tão pequeno quanto possível e  $\left| f(x)-L \right|$ também tão pequeno quanto possível, mas maiores que zero e pudermos associar essas diferenças por meio de uma relação, então existirá o limite $L$ da função $f(x)$ quando $x$ tende ao número $a$. 

Em outras palavras se pudermos atribuir um valor "$\varepsilon$" maior que zero de modo que exista um valor correspondente "$\delta$" também maior que zero então:
$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$$

Interpretação geométrica da definição formal de Limite

Observe a função $f(x)$ representada no gráfico abaixo:

Perceba que se pudermos relacionar "$\varepsilon$" em função de "$\delta$", então para qualquer intervalo no eixo $x$ próximo de $a$ podemos fazer um intervalo no eixo $y$ próximo de $L$, ou seja, $f(x)$ tende a $L$ quando $x$ tende a $a$ se fizermos "$\varepsilon$" e "$\delta$" tão pequenos quanto possível, porém maiores que zero, e se pudermos encontrar uma relação entre "$\varepsilon$" e "$\delta$".

Resolução de limites pela definição formal

Veja como resolver limites pela definição formal. Preste atenção nos passos que devemos seguir para resolver limite pela definição e perceba que em alguns casos devemos fazer manipulações matemática para atingirmos o resultado que queremos. Faz-se necessário que você saiba algumas propriedades de módulo para trabalhar com esse tipo de situação. 

Para isso recomendo que você faça a leitura do artigo: Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular, do professor e grande amigo Kleber Kilhian, lá você vai compreender a definição de módulo e conhecer suas principais propriedades de forma bem didática. 

Exemplo 1

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 2 }$, pois:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x+1-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Exemplo 2

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 3 }$, pois:
$$0<\left| x-1 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x+2-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 }>0 $, tal que: $0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Exemplo 3

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $$
Resolvendo a expressão $\left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $, temos que:
$$\left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 }  $$
Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 4 }$, pois:
$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-1-7 \right| <\varepsilon \\ \left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon  $$
Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Deixo como desafio provar pela definição de limite que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ x^2=4 } $$

Como será a próxima aula

Na aula 4 irei explicar as propriedades de limites e irei resolver alguns exemplos para fixar essas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog. O que você achou dessa aula? Gostaria que ela contemplasse mais alguma informação? Gostaria de sugerir edições e melhorias para as próximas aulas? Fique a vontade para deixar sua opinião nos comentários deste artigo ou entre em contato por e-mail: contato@vivendoentresimbolos.com


Referências bibliográficas:

[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; José Machado, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Noções de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2005.
[2] Régis Vieira Alves, Francisco. Cálculo I. Equipe de elaboração UAB/IFCE, Fortaleza, 2011. 
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Aula 3 - Definição Formal de Limite Reviewed by Romirys Cavalcante on 27.10.14 Rating: 5

22 comentários:

  1. Poderia explicar o que significa dizer que uma desigualdade tende para outra desigualdade?

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    Respostas
    1. Olá!

      Na verdade o meu intuito era de ter mostrado que se uma desigualdade existe, "então" a outra também existirá, no entanto, pelo que você bem observou, troquei as simbologias. O correto seria eu ter utilizado o símbolo $\Rightarrow $ em vez do símbolo $\rightarrow $ para esse caso, evitando assim esse tipo de dúvida.

      Obrigado pelo comentário e pela leitura atenta do artigo, já estou concertando esse pequeno deslize que cometi. Um abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  2. Nos exemplos, você diz que podemos tomar qualquer valor para $\delta$. Podemos tomar $\delta=1$ ou $\delta=2\varepsilon$?

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    Respostas
    1. Como $\delta $ e $\varepsilon$ são resultados da diferença de $x-a$ e $f(x)-L$, respectivamente, perceba que eles deverão ser valores bem pequenos, por isso são representados por essas letras, como citei no artigo, a Matemática costuma utilizar símbolos para representar diferenças muito pequenas, logo é sensato que a escolha para o $\delta $ ou $\varepsilon$ seja um valor pequeno e bem próximo de zero.

      Respondendo a sua pergunta, podemos escolher qualquer valor para $\delta >0$, lembrando que ele deve ter uma relação correspondente ao valor do $\varepsilon$. Outra observação que faço é que quanto maior for o valor escolhido, significa dizer que o intervalo que você está analisando entre $x$ e $a$ está aumentando, o que no conteúdo de Limite, não nos interessa muito.

      Qualquer outro questionamento, pode comentar aqui no blog.

      Att. Romirys Cavalcante

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  3. oi professor...muito bom seu site...um achado para uma estudante de engenharia no 1 SEMESTE!!! para ser melhor ainda, seria bom se vc fizesse video aulas, com certeza faria sucesso tendo em vista que é escasso canais que tenham como foco a temida matéria de cálculo e não faltam estudantes desesperados kkkkk......pense nesse possibilidade...essa aluna aqui vc já teria ;)

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    Respostas
    1. Olá!

      Obrigado pela sugestão com relação as vídeo-aulas. A única coisa que falta para eu iniciar isso é um pouco de prática para elaborar essas aulas em forma de vídeo, mas vontade não me falta. Tenha certeza que em breve o blog Vivendo entre Símbolos terá muitas vídeo aulas de cálculo para ajudar leitores como você nessa tão temida disciplina.

      Att. Romirys Cavalcante

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  4. professor o resultado da questão desafio é: |x-2|<E/|x+2|. E= épsilon?

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    Respostas
    1. Olá Thiago!

      Infelizmente não. Existe uma noção semelhante a esse desafio no livro Fundamentos de Matemática Elementar vol. 8 - Limites, Derivas e Noções de Integral. pág. 27 questão 21. Espero que ajude com essa resolução.

      Att. Romirys Cavalcante

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  5. Excelente explicação. Muito obrigado pela ajuda.
    Continuação de bom trabalho!!

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    1. É um prazer poder contribuir com seu aprendizado!

      Att. Romirys Cavalcante

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  6. Respostas
    1. Olá May!

      Obrigado pelo elogio ao conteúdo que publico aqui no site. É sempre bom receber comentários assim, pois vejo que estou conseguindo atingir meu objetivo de ajudar as pessoas a aprenderem matemática de uma forma fácil e mais didática. Bons estudos, um abraço e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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  7. A resposta do desafio seria: |x-4|< E/x ? Se estiver errado, por favor, dê a resposta certa para eu tentar entender, obrigada!

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    1. Olá!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  8. muito bom....parabens...me ajudou mto

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    1. Olá!

      Fico feliz em poder contribuir com seu aprendizado. Um grande abraço, bons estudos e até a próxima!

      Att. Romirys Cavalcante

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  9. Olá professor, o Sr. poderia avaliar se encontrei a solução correta para o desafio?

    Cheguei na conclusão que |x-2| < sqrt(4+£) - 2 e |x-2| < 2 + sqrt(4+£).

    Muito obrigado pela sua atenção

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    Respostas
    1. Olá Matheus!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  10. Olá, o resultado do desafio ficaria:
    δ = sqrt(ε + 4) - 2

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    Respostas
    1. Olá Matheus!

      Vou postar a resposta para o desafio esse mês ainda. Agradeço a compreensão, bons estudos e até a próxima.

      Att. Romirys Cavalcante

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  11. Professor, suas aulas estão sendo de grande ajuda no meu curso! muito obrigado mesmo. Eu gostaria de ver uma dessas provas que fez acima, relacionando épsilon e delta, com uma equação quadrática Ex : Lim X -> 1 F(x) = X² + 1 = 2. Estou no primeiro período da UFRJ, e os artifícios usados pelo meu professor não foram claros a mim. Continua com esse projeto e explicações excelentes. sucesso!

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    Respostas
    1. Olá!

      Fico muito feliz em saber que estou contribuindo com o seu aprendizado. Vou dar uma atualizada nessa publicação e colocar mais exemplos utilizando equação quadrática como solicitou. Um grande abraço, bons estudos e até breve!

      Att. Romirys Cavalcante

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