Aula 3 - Definição Formal de Limite

Estou dando início a aula 3 do curso: Como aprender Cálculo Diferencial e Integral. Nesta aula você vai aprender sobre a definição formal de Limite. Muitos amigos professores que conheço dizem que essa é uma das partes mais chatas do Cálculo, pois é muito complicado resolver limites pela definição, no entanto esta definição é de suma importância para que você não sinta dificuldades em conteúdos futuros dessa disciplina.

Definição formal de Limite

Abaixo irei apresentar a definição formal de Limite e em seguida irei explicá-la de modo a esclarecer alguns pontos importantes desse conteúdo. Por fim irei resolver alguns limites pela definição para que fique claro como devemos proceder em situações que exijam a resolução de limites utilizando a definição.

Seja uma função $y=f(x)$ definida sobre algum intervalo aberto que contenha o número $a$, mas não obrigatoriamente essa função necessita estar definida nesse ponto $a$. Podemos dizer então que, o limite de $f(x)$ vale $L$ quando $x$ se aproxima, ou quando $x$ tende ao número $a$ e representamos essa afirmação por $\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$ se, e somente se, para todo número $\varepsilon >0$, existir um número correspondente $\delta >0$ tal que $\left| x-a \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-L \right| <\varepsilon $. 

Importante: A Matemática usa símbolos para indicar diferenças muito pequenas. Os símbolos mais comuns utilizados são $\varepsilon$ (lê-se: Épsilon) e $\delta$ (lê-se: Delta).

Note que em nenhum momento dessa definição é mencionado algo sobre o valor da função quando $x=a$, ou seja, não é necessário que a função esteja definida em $a$, pois o que importa no limite é o que acontece com o valor de $f(x)$ nas proximidades do número $a$ tanto pela direita quanto pela esquerda. 

Estudando a definição formal de Limite

Nesse momento irei relatar as minhas conclusões e observações acerca da definição formal de limites. Espero que alguma dessas observações sejam úteis para a sua compreensão desse conteúdo.

A definição formal de Limites diz que se conseguirmos fazer $\left| x-a \right|$ tão pequeno quanto possível e  $\left| f(x)-L \right|$ também tão pequeno quanto possível, mas maiores que zero e pudermos associar essas diferenças por meio de uma relação, então existirá o limite $L$ da função $f(x)$ quando $x$ tende ao número $a$. 

Em outras palavras se pudermos atribuir um valor "$\varepsilon$" maior que zero de modo que exista um valor correspondente "$\delta$" também maior que zero então:

$$\lim _{ x\rightarrow a }{ f(x) } =L$$

Interpretação geométrica da definição formal de Limite

Observe a função $f(x)$ representada no gráfico abaixo:

Perceba que se pudermos relacionar "$\varepsilon$" em função de "$\delta$", então para qualquer intervalo no eixo $x$ próximo de $a$ podemos fazer um intervalo no eixo $y$ próximo de $L$, ou seja, $f(x)$ tende a $L$ quando $x$ tende a $a$ se fizermos "$\varepsilon$" e "$\delta$" tão pequenos quanto possível, porém maiores que zero, e se pudermos encontrar uma relação entre "$\varepsilon$" e "$\delta$".

Resolução de limites pela definição formal

Veja como resolver limites pela definição formal. Preste atenção nos passos que devemos seguir para resolver limite pela definição e perceba que em alguns casos devemos fazer manipulações matemática para atingirmos o resultado que queremos. Faz-se necessário que você saiba algumas propriedades de módulo para trabalhar com esse tipo de situação. 

Para isso recomendo que você faça a leitura do artigo: Valor Absoluto e a Desigualdade Triangular, do professor e grande amigo Kleber Kilhian, lá você vai compreender a definição de módulo e conhecer suas principais propriedades de forma bem didática. 

Exemplo 1

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 }  $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 2 }$, pois:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 2 } \\ 2\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x-4 \right| <\varepsilon \\ \left| 2x+1-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (2x+1)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 2 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 2x+1=5 } $$

Exemplo 2

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 }  $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 3 }$, pois:

$$0<\left| x-1 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ \left| x-1 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 3 } \\ 3\cdot \left| x-1 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x-3 \right| <\varepsilon \\ \left| 3x+2-5 \right| <\varepsilon \\ \left| (3x+2)-5 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon  $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 3 }>0 $, tal que: $0<\left| x-1 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-5 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ 3x+2=5 } $$

Exemplo 3

Prove pela definição formal de limites que: $$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Resolução:

Para isso devemos mostrar que para qualquer $\varepsilon >0$, existe um valor $\delta >0$ tal que:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow  \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $$

Resolvendo a expressão $\left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $, temos que:

$$\left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 }  $$

Nesse momento, podemos escolher qualquer valor para $\delta$, porém faz-se sensato escolhermos $\delta=\frac { \varepsilon  }{ 4 }$, pois:

$$0<\left| x-2 \right| <\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ \left| x-2 \right| <\frac { \varepsilon  }{ 4 } \\ 4\cdot \left| x-2 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-8 \right| <\varepsilon \\ \left| 4x-1-7 \right| <\varepsilon \\ \left| (4x-1)-7 \right| <\varepsilon \\ \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon  $$

Logo temos que: Para todo e qualquer $\varepsilon >0$, existe um $\delta =\frac { \varepsilon  }{ 4 }>0 $, tal que: $0<\left| x-2 \right| <\delta \Rightarrow \left| f(x)-7 \right| <\varepsilon $. Com isso provamos pela definição que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ 4x-1=7 } $$

Deixo como desafio provar pela definição de limite que:
$$\lim _{ x\rightarrow 2 }{ x^2=4 } $$

Como será a próxima aula

Na aula 4 irei explicar as propriedades de limites e irei resolver alguns exemplos para fixar essas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog. O que você achou dessa aula? Gostaria que ela contemplasse mais alguma informação? Gostaria de sugerir edições e melhorias para as próximas aulas? Fique a vontade para deixar sua opinião nos comentários deste artigo ou entre em contato por e-mail: contato@vivendoentresimbolos.com

Referências bibliográficas:

[1] Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; José Machado, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 8. Limites, Derivadas e Noções de Integral. Editora Saraiva S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2005.
[2] Régis Vieira Alves, Francisco. Cálculo I. Equipe de elaboração UAB/IFCE, Fortaleza, 2011. 

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