Aula 2 - Produtos Notáveis, Fatoração e Funções Transcendentais

Estou inciando a aula 2 do Curso: Como Aprender Cálculo Diferencial e Integral. Hoje irei fazer uma revisão bem simplificada dos seguintes conteúdos: Produtos Notáveis, Fatoração e Funções Transcendentais (Função Exponencial, Função Logarítmica e Função Trigonométrica), pois penso que sejam de suma importância para a resolução de problemas envolvendo Limites. Este artigo servirá como um nivelamento para o Cálculo, espero que goste da aula. Bons estudos!

Produtos Notáveis

Nessa seção irei apresentar os principais produtos notáveis que mais aparecem no Cálculo de Limites e exemplificar cada um deles.

Quadrado da soma de dois termos

$${ \left( x+y \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 2\cdot x\cdot y }+{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

${ \left( x+3y \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 2\cdot x\cdot 3y }+{ \left( 3y \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+{ 6\cdot x\cdot y }+{ 9y }^{ 2 }$

${ \left( 7x+1 \right)  }^{ 2 }={ \left( 7x \right)  }^{ 2 }+{ 2\cdot 7x\cdot 1 }+{ \left( 1 \right)  }^{ 2 }={ 49x }^{ 2 }+{ 14\cdot x }+{ 1 }$

Quadrado da diferença de dois termos

$${ \left( x-y \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-{ 2\cdot x\cdot y }+{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

${ \left( 7x-3 \right)  }^{ 2 }={ \left( 7x \right)  }^{ 2 }-{ 2\cdot 7x\cdot 3 }+{ \left( 3 \right)  }^{ 2 }={ 49x }^{ 2 }-{ 42\cdot x }+9$

${ \left( 5a-b \right)  }^{ 2 }={ \left( 5a \right)  }^{ 2 }-{ 2\cdot 5a\cdot b }+{ \left( b \right)  }^{ 2 }={ 25a }^{ 2 }-{ 10\cdot a\cdot b }+{ b }^{ 2 }$

Produto da soma pela diferença de dois termos

$$\left( x+y \right) \cdot \left( x-y \right) ={ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }$$

Exemplos:

$\left( 3a+x \right) \cdot \left( 3a-x \right) ={ \left( 3a \right)  }^{ 2 }-{ \left( x \right)  }^{ 2 }=9{ a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }$

$\left( { x }^{ 2 }+5p \right) \cdot \left( { x }^{ 2 }-5p \right) ={ \left( { x }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }-{ \left( 5p \right)  }^{ 2 }={ x }^{ 4 }-{ 25p }^{ 2 }$

Cubo da soma de dois termos

$${ \left( x+y \right)  }^{ 3 }={ x }^{ 3 }+3\cdot { x }^{ 2 }\cdot { y }+3\cdot { x }\cdot { y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

Exemplos:

${ \left( 2a+5 \right)  }^{ 3 }=\left( 2a \right) ^{ 3 }+3\cdot \left( 2a \right) ^{ 2 }\cdot 5+3\cdot { 2a }\cdot { \left( 5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 5 \right)  }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =8a^{ 3 }+60\cdot a^{ 2 }+150\cdot { a }^{ 2 }+{ 125 }$

${ \left( x+2 \right)  }^{ 3 }=\left( x \right) ^{ 3 }+3\cdot \left( x \right) ^{ 2 }\cdot 2+3\cdot x\cdot { \left( 2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 2 \right)  }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =x^{ 3 }+6\cdot x^{ 2 }+12\cdot x+{ 8 }$

Cubo da diferença de dois termos

$${ \left( x-y \right)  }^{ 3 }={ x }^{ 3 }-3\cdot { x }^{ 2 }\cdot { y }+3\cdot { x }\cdot { y }^{ 2 }-{ y }^{ 3 }$$

Exemplos:

${ \left( a-4 \right)  }^{ 3 }=\left( a \right) ^{ 3 }-3\cdot \left( a \right) ^{ 2 }\cdot 4+3\cdot { a }\cdot { \left( 4 \right)  }^{ 2 }-{ \left( 4 \right)  }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =a^{ 3 }-12\cdot a^{ 2 }+48\cdot { a }-{ 64 }$

${ \left( a-2b \right)  }^{ 3 }=\left( a \right) ^{ 3 }-3\cdot \left( a \right) ^{ 2 }\cdot 2b+3\cdot { a }\cdot { \left( 2b \right)  }^{ 2 }-{ \left( 2b \right)  }^{ 3 }\\ \quad \quad \quad \quad =a^{ 3 }-6\cdot a^{ 2 }\cdot b+12\cdot { a }\cdot b^{ 2 }-{ 8b }^{ 3 }$

Fatoração

Nessa seção irei apresentar as principais fatorações que devemos conhecer para nos darmos bem na disciplina de Cálculo de Limites e irei exemplificar cada um deles.

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. Quando todos os termos de um polinômio tem um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Diferença de dois quadrados

$${ x }^{ 2 }-y^{ 2 }=\left( x+y \right) \cdot \left( x-y \right)  $$

Exemplos:

Encontre a forma fatorada do polinômio ${ x }^{ 2 }-25$

Resolução:

Como $25$ é o mesmo que $5^2$ temos que: ${ x }^{ 2 }-25={ x }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }=\left( x+5 \right) \cdot \left( x-5 \right) $

Trinômio quadrado perfeito

$${ x }^{ 2 }+2\cdot x\cdot y+{ y }^{ 2 }={ \left( x+y \right)  }^{ 2 }$$
$$e$$
$${ x }^{ 2 }-2\cdot x\cdot y+{ y }^{ 2 }={ \left( x-y \right)  }^{ 2 }$$

Exemplos:

Encontre a forma fatorada do polinômio ${ x }^{ 2 }+12\cdot x+36$

Resolução:

Neste caso observamos que $x^2$ e $36$ são quadrados e possuem bases $x$ e $6$, respectivamente, e podemos observar também que $12\cdot x=2\cdot 6\cdot x$, logo: 

$${ x }^{ 2 }+12\cdot x+36=\left( x \right) ^{ 2 }+2\cdot x\cdot 6+{ \left( 6 \right)  }^{ 2 }={ \left( x+6 \right)  }^{ 2 }\quad ou\quad \left( x+6 \right) \cdot \left( x+6 \right) $$

Fator comum de uma expressão

Quando um termo de uma expressão está presente em todos os fatores dela dizemos então que ele é um fator comum dessa expressão.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Exemplos:

Considere a seguinte expressão: $3xy+9xz+6x$, note que ela pode ser reescrita da seguinte maneira: $(3x)\cdot y+(3x)\cdot 3z+(3x)\cdot 2$, observe que agora podemos perceber que o termo "$3x$" está presente em todos os fatores dessa expressão, logo podemos concluir que ele é o fator comum. Essa expressão pode ser reescrita ainda como: 

$$(3x)\cdot y+(3x)\cdot 3z+(3x)\cdot 2\quad =\quad (3x)\cdot (y+3z+2)$$

Fatoração por agrupamento de fatores

Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento devemos realizar os seguintes passos:

1. Formamos grupos com os termos da expressão;
2. Em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência;
3. Colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir).

Exemplos:

Considere a seguinte expressão: $ax + ay + bx + by$. Neste caso, não temos um fator comum a todas as parcelas. No entanto, $a$ é o fator comum às duas primeiras parcelas e $b$ é o fator comum às duas últimas. Por isso, podemos separar a expressão em dois grupos e, colocar em evidência o fator comum de cada grupo, veja: 

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)$$

Note que agora temos o termo $x+y$ que é comum a ambas as parcelas dessa expressão, portanto é um fator comum a ela, logo podemos colocá-lo em evidência, veja:

$$a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$$

Esse processo é o que chamamos de fatoração por agrupamento. 

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Seja o trinômio quadrado perfeito definido por $a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$, com $\Delta \ge 0$ ele poderá ser reescrito da seguinte maneira:

$$a{ x }^{ 2 }+bx+c=a(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })$$

com ${ x }_{ 1 }$ e ${ x }_{ 2 }$ sendo as raízes desse trinômio quadrado perfeito.

Exemplo:

Considere a seguinte equação: ${ x }^{ 2 }-6x+8=0$, vamos calcular as raízes dela para reescrevermos ela de forma fatorada.

Primeiro calculamos o valor do discriminante delta, veja:

$${ x }^{ 2 }-6x+8=0\\ a=1,\quad b=-6,\quad c=8\\ \Delta ={ b }^{ 2 }-4\cdot a\cdot c\\ \Delta ={ \left( -6 \right)  }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot 8\\ \Delta =36-32\\ \Delta =4$$

Agora vamos calcular as raízes:

$$x=\frac { -b\pm \sqrt { \Delta  }  }{ 2a } \\ \\ x=\frac { -(-6)\pm \sqrt { 4 }  }{ 2\cdot 1 } \\ \\ x=\frac { 6\pm 2 }{ 2 } \\ \\ x'=\frac { 6+2 }{ 2 } =\frac { 8 }{ 2 } =4\\ \\ x''=\frac { 6-2 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } =2$$

Agora reescrevemos a equação da seguinte maneira:

$$a{ x }^{ 2 }+bx+c=a(x-{ x }_{ 1 })\cdot (x-{ x }_{ 2 })\\ { x }^{ 2 }-6x+8=1\cdot (x-4)\cdot (x-2)\\ { x }^{ 2 }-6x+8=(x-4)\cdot (x-2)$$

Funções Transcendentais

Nessa seção irei apresentar as principais funções transcendentais que devemos conhecer para nos darmos bem na disciplina de Cálculo de Limites.

Função Exponencial

Chamamos de Função exponencial toda função $f(x)$ definida dos Reais nos Reais positivos e não-nulos, tal que $f(x)=a^n$ com "$a$" pertencente ao conjunto dos números Reais diferente de 1.

Para esclarecer melhor esse tópico é interessante que você conheça todas as propriedades da potenciação, para isso recomendo a leitura do artigo abaixo:

Todas as propriedades da Potenciação

Algumas propriedades importantes no conjunto dos Reais que merecem destaque:

$${ a }^{ x+y }={ a }^{ x }\cdot { a }^{ y }$$
$${ a }^{ x-y }=\frac { { a }^{ x } }{ { a }^{ y } } $$
$${ \left( { a }^{ x } \right) }^{ y }={ a }^{ x\cdot y }$$
$${ \left( { a }\cdot b \right) }^{ x }={ a }^{ x }\cdot { b }^{ x }$$

Se $a>0$ e diferente de $1$ temos:
$${ a }^{ x }={ a }^{ y }\Longleftrightarrow x=y$$

Função Logarítmica

Uma função logarítmica de base "$a$" é toda função definida dos Reais não nulos e positivos nos Reais de modo que:

$$f(x)=\log _{ a }{ b }$$

Com $a>0$ e $a\neq 1$.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, ou seja: 

$${ a }^{ x }=b\quad \Longleftrightarrow \quad \log _{ a }{ b } =x$$

com $a>0,\quad b>0\quad e\quad a\neq 1$.

Lembre-se que:
$a$ = base
$b$ = logaritmando
$x$ = logarítmo

Algumas consequências da definição: 

$$\log _{ a }{ 1=0 } $$
$$ { a }^{ \log _{ a }{ b }  }=b $$
$$ \log _{ a }{ { a }^{ m } } =m  $$
$$ \log _{ a }{ { a } } =1 $$
$$ \log _{ a }{ { b } } =\log _{ a }{ { c } } \quad \Longrightarrow \quad b=c $$

Propriedades dos logaritmos

Considerando "$a$", "$b$" e "$c$" $>0$ e $a \neq 1$, temos que:

$$\log _{ a }{ \left( b\cdot c \right)  } \quad =\quad \log _{ a }{ b } +\log _{ a }{ c } $$
$$\log _{ a }{ \left( \frac { b }{ c }  \right)  } \quad =\quad \log _{ a }{ b } -\log _{ a }{ c } $$
$$\log _{ a }{ \left( { b }^{ n } \right)  } \quad =\quad n\cdot \log _{ a }{ b } $$

Mudança de base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base $a$ para uma outra base $b$ usamos:

$$\log _{ a }{ c } \quad =\quad \frac { \log _{ b }{ c }  }{ \log _{ b }{ a }  } $$

Logaritmos naturais

Os logaritmos na base "$e$" são chamados de logaritmos naturais e têm uma notação especial:

$$\log _{ e }{ x } \quad =\quad \ln { x } $$

Logo, fazendo $a = e$, e substituindo $\log _{ e }{  } $ por $\ln { }$ nas propriedades já descritas para logaritmos, as propriedades que definem a função logaritmo natural ficam:

$$\ln { x } =y\quad \Longleftrightarrow \quad { e }^{ y }=x$$
$$\ln { { e }^{ x } } =x\quad com\quad x\epsilon R $$
$${ e }^{ \ln { x }  }=x,\quad com\quad x>0$$
$$\ln { { e } } =1$$

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas mais conhecidas são: seno (sen), cosseno (cos) e a tangente (tg). Dado o triângulo retângulo abaixo temos que: 

$$sen(\theta )=\frac { \text{cateto oposto} }{\text{hipotenusa}} =\frac { b }{ a } $$
$$cos(\theta )=\frac { \text{cateto adjacente} }{\text{hipotenusa}} =\frac { c }{ a } $$
$$tg(\theta )=\frac {\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} =\frac { b }{ c } \quad \text{ou} \quad tg(\theta )=\frac { sen(\theta ) }{ cos(\theta ) } $$

Relação fundamental da trigonometria

$${ sen }^{ 2 }\theta +cos^{ 2 }\theta =1$$

INVERSO das Funções Trigonométricas (Seno, Cosseno e Tangente)

As funções seno, cosseno e tangente admitem inversas e para cada uma dessas inversas atribuímos um nome diferente, são eles: 

Inversa do seno = cossecante ($cossec$)
Inversa do cosseno = secante ($sec$)
Inversa da tangente = cotangente ($cotg$)

Uma dica para não confundir quem é a inversa de quem é você observar a 3° letra de cada nome das inversas, ela será a primeira letra da função a que se refere, por exemplo:

A 3° letra da palavra secante é "c" então refere-se a função cosseno.
A 3° letra da palavra cossecante é "s" então refere-se a função seno.
A 3° letra da palavra cotangente é "t" então refere-se a função tangente.

Aviso: Note que nem sempre existirá o INVERSO dessas funções, pois em casos, por exemplo, que o $sen(x)$ ou $cos(x)$ ou $tg(x)$ for igual a zero, o inverso não poderá existir, pois não existe divisão por zero, ou seja, isso gera uma indeterminação matemática.

Algumas Relações Trigonométricas importantes de conhecer:

$$1+{ tg }^{ 2 }\theta ={ sec }^{ 2 }\theta $$
$$1+{ cotg }^{ 2 }\theta =co{ sec }^{ 2 }\theta $$
$$sen\left( a+b \right) =sen(a)\cdot cos(b)+sen(b)\cdot cos(a)$$
$$sen\left( a-b \right) =sen(a)\cdot cos(b)-sen(b)\cdot cos(a)$$
$$cos\left( a+b \right) =cos(a)\cdot cos(b)-sen(a)\cdot sen(b)$$
$$cos\left( a-b \right) =cos(a)\cdot cos(b)+sen(a)\cdot sen(b)$$
$$tg\left( a+b \right) =\frac { tg(a)+tg(b) }{ 1-tg(a)\cdot tg(b) } $$
$$tg\left( a-b \right) =\frac { tg(a)-tg(b) }{ 1+tg(a)\cdot tg(b) } $$
$$sen\left( 2a \right) =2\cdot sen(a)\cdot cos(a)$$
$$cos\left( 2a \right) ={ cos }^{ 2 }(a)-sen^{ 2 }(a)$$
$$tg\left( 2a \right) =\frac { 2\cdot tg(a) }{ 1-{ tg }^{ 2 }(a) } $$
$$sen(a)+sen(b)=2\cdot sen\left( \frac { a+b }{ 2 }  \right) \cdot cos\left( \frac { a-b }{ 2 }  \right) $$
$$sen(a)-sen(b)=2\cdot sen\left( \frac { a-b }{ 2 }  \right) \cdot cos\left( \frac { a+b }{ 2 }  \right) $$
$$cos(a)+cos(b)=2\cdot cos\left( \frac { a+b }{ 2 }  \right) \cdot cos\left( \frac { a-b }{ 2 }  \right) $$
$$cos(a)+cos(b)=-2\cdot sen\left( \frac { a+b }{ 2 }  \right) \cdot sen\left( \frac { a-b }{ 2 }  \right) $$
$${ sen }^{ 2 }(a)=\frac { 1-cos(2a) }{ 2 } $$
$${ cos }^{ 2 }(a)=\frac { 1+cos(2a) }{ 2 } $$

Material de apoio para esses conteúdos

Para fundamentar esses conteúdos que abordei nesse artigo de hoje irei disponibilizar uma apostila com essas teorias mais detalhadas e com uma lista de exercícios para cada conteúdo para que você possa treinar em casa cada uma dessas propriedades. Dependendo do andamento dessa semana irei ver a possibilidade de fazer um vídeo resolvendo todos esses exercícios propostos. 

Apostila de Nivelamento para Cálculo:

• Google Docs: Visualizar - Baixar 
• Dropbox: Visualizar - Baixar
• Google Drive: Visualizar - Baixar

Recomendo que leia também:

Já que estou falando de revisão de conteúdos deixo como dica de leitura o ótimo artigo do meu colega Kleber Kilhian (criador do O Baricentro da Mente) chamado Fatoração de Expressões Algébricas. Vale muito a pena conferir.

Outra dica de leitura que eu dou é a do professor Edigley Alexandre (criador do Blog do Prof. Edigley Alexandre) do artigo intitulado Fatore polinômios com esse Widget. Neste artigo você vai ser capaz de ver a forma fatorada de expressões polinomiais (até o grau 100) utilizando um programa bem bacana do Wolfram Alpha, sem dúvidas vale muito a pena conferir.

Por fim gostaria de sugerir, também, que fizessem a leitura do artigo do meu colega Charles Bastos (criador do TIC's na Matemática) intitulado Funções e Transformações Trigonométricas no Excel, nele você vai analisar o comportamento de algumas funções trigonométricas abordadas nesta aula com auxílio da ferramenta Excel e vai compreender mais detalhadamente algumas fórmulas trigonométricas que também mencionei nesta aula de hoje. Vale a pena ler também!

Como será a próxima aula?

Na aula 3 irei explicar a definição formal de Limite e suas propriedades, então recomendo que fique por dentro das próximas publicações do blog, pois o curso está apenas começando. Peço que caso encontrem algum erro relatem para mim por meio da página de contato do blog. Dicas e sugestões são sempre bem vindas também. 

Obrigado pela leitura, bons estudos e até a próxima.

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